solutions des exercices
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d’où on tire :
m
V
2
R
= F − mg cos a et m
dV
dt
= −g sin a
On ne peut pas calculer facilement la vitesse (ou a) en fonction du temps à partir de
ces équations. Une information facile à exploiter est donnée par le théorème de l’énergie
cinétique qui permet de relier la vitesse V au lieu (ici repéré par a) ; entre A et M, il
s’écrit :
1
2
mV
2
− 0 = mg(h − R 1 R cos a),
d’où V
2 = 2g(h − R 1 R cos a)
En reportant cette expression de V
2 dans la première égalité donnée par la relation
fondamentale de la dynamique, il vient :
F − mg cos a = m
2g(h − R 1 R cos a)
R
On obtient donc :
F = mg
3 cos a − 2 1
2h
R
Au point C, a = 0, de sorte que l’accélération est centripète en ce point :
− → a (C) = 2g
h
R
− → n = 2g
h
R
− → u z
Entre D et Q, la projection de la relation fondamentale de la dynamique sur le vecteur
unitaire − → u 2 et sur celui qui lui est directement perpendiculaire conduit à : R 2 = mg cos a 2
et a 2 = −g sin a 2 , où
− →
R 2 désigne la réaction du support sur le véhicule entre D et Q, et
− → a 2 son accélération. La comparaison entre les deux plans inclinés est évidente : Puisque
a 2 < a 1 , R 2 > R 1 .
En S,
− →
F et m − → g sont normales, si bien que l’accélération l’est aussi. En ce point, on a
m − → g 1
− →
F = m − → a (S) = m
V
2
S
R
− → n = m
2g(h − R)
R
− → n , de sorte que
− → a (S) = 2g
h
R
− 1
− → n = −2g
h
R
− 1
− → u z
2. La vitesse relative de M
dans le référentiel entraîné étant nulle, il ne subit pas de
force d’inertie de Coriolis. La force d’inertie d’entraînement est
− →
f ie (M
) = −m − → a ie (M
).
Comme M
est immobile par rapport à M, on a :
− → a (M/R) = − → a (M
/R) = − → a ie (M
)
L’accélération d’entraînement de M
est donc égale à celle de M par rapport au référentiel
terrestre R, étudiée en détail précédemment. Pour représenter la force d’inertie subie par
le passager, il suffit de dessiner cette accélération et d’en changer le sens.
La force d’inertie d’entraînement s’écrit :
– entre A et B :
− →
f ie (M) = −m
g sin a 1
− → u 1
– entre D et Q :
− →
f ie (M) = m
g sin a 2
− → u 2
1. MÉCANIQUE
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d’où on tire :
m
V
2
R
= F − mg cos a et m
dV
dt
= −g sin a
On ne peut pas calculer facilement la vitesse (ou a) en fonction du temps à partir de
ces équations. Une information facile à exploiter est donnée par le théorème de l’énergie
cinétique qui permet de relier la vitesse V au lieu (ici repéré par a) ; entre A et M, il
s’écrit :
1
2
mV
2
− 0 = mg(h − R 1 R cos a),
d’où V
2 = 2g(h − R 1 R cos a)
En reportant cette expression de V
2 dans la première égalité donnée par la relation
fondamentale de la dynamique, il vient :
F − mg cos a = m
2g(h − R 1 R cos a)
R
On obtient donc :
F = mg
3 cos a − 2 1
2h
R
Au point C, a = 0, de sorte que l’accélération est centripète en ce point :
− → a (C) = 2g
h
R
− → n = 2g
h
R
− → u z
Entre D et Q, la projection de la relation fondamentale de la dynamique sur le vecteur
unitaire − → u 2 et sur celui qui lui est directement perpendiculaire conduit à : R 2 = mg cos a 2
et a 2 = −g sin a 2 , où
− →
R 2 désigne la réaction du support sur le véhicule entre D et Q, et
− → a 2 son accélération. La comparaison entre les deux plans inclinés est évidente : Puisque
a 2 < a 1 , R 2 > R 1 .
En S,
− →
F et m − → g sont normales, si bien que l’accélération l’est aussi. En ce point, on a
m − → g 1
− →
F = m − → a (S) = m
V
2
S
R
− → n = m
2g(h − R)
R
− → n , de sorte que
− → a (S) = 2g
h
R
− 1
− → n = −2g
h
R
− 1
− → u z
2. La vitesse relative de M
dans le référentiel entraîné étant nulle, il ne subit pas de
force d’inertie de Coriolis. La force d’inertie d’entraînement est
− →
f ie (M
) = −m − → a ie (M
).
Comme M
est immobile par rapport à M, on a :
− → a (M/R) = − → a (M
/R) = − → a ie (M
)
L’accélération d’entraînement de M
est donc égale à celle de M par rapport au référentiel
terrestre R, étudiée en détail précédemment. Pour représenter la force d’inertie subie par
le passager, il suffit de dessiner cette accélération et d’en changer le sens.
La force d’inertie d’entraînement s’écrit :
– entre A et B :
− →
f ie (M) = −m
g sin a 1
− → u 1
– entre D et Q :
− →
f ie (M) = m
g sin a 2
− → u 2
1. MÉCANIQUE
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