solutions des exercices
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La vitesse de décollage vaut alors :
V d =
2gr cos u 0
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5 Le mouvement du point M s’effectue sur le segment de droite OA. La manière la plus
simple de décrire son mouvement est de le faire dans la base tournante liée au référentiel
en rotation Oxyz. Le mouvement est décrit par
− − →
OM =
r
2
(1 1 sin v 0 t) − → u x = x(t) − → u x .
L’expression générale de la force d’inertie d’entraînement du point M dans le cas d’un
référentiel en rotation est :
− →
f ie (M) = −m − → a e (M) = mV
2 − − →
HM − m
d
− →
V
dt
∧
− − →
OM, où
− →
V est
le vecteur rotation du référentiel entraîné et H le projeté orthogonal de M sur l’axe de
rotation (ici H = O).
− →
V étant indépendant du temps, seul le premier terme subsiste, si
bien que :
− →
f ie (M) = mV
2 − − →
OM = mV
2 r
2
(1 1 sin v 0 t) − → u x = mV
2 x(t) − → u x
La force d’inertie de Coriolis est
−
→
f ic (M) = −2m
− →
V ∧ − →
v Re (M), où − →
v Re (M) est la vitesse
de M dans le référentiel entraîné (lié au manège). On a donc :
− →
f ic (M) = −2mV − → u z ∧
d
− − →
OM
dt
Re
= −2mV − → u z ∧ ˙
x(t) − → u x
= −mVv 0 r cos v 0 t − → u y = −2mV ˙
x(t) − → u y ,
Il est crucial de comprendre que la dérivation de
− − →
OM par rapport à t se fait dans le
référentiel entraîné dans lequel − → u x est donc indépendant du temps.
La force d’inertie d’entraînement
− →
f ie (M) est toujours centrifuge et sa valeur augmente
lorsque M va de O vers A. La figure ci-dessous montre l’évolution de
− →
f ie (M)
en
fonction du temps, pour t allant de 0 à T =
2p
v 0
comparée à celle de x.
x
t
r
r/2
T/2
t
T/2
A
I
O
A
I
O
mΩ 2 r
f ie (M)
0
1. MÉCANIQUE
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