i
i
i
i
i
i
i
i
14
V C
(V C = V I )
12
10
8
6
4
2
0
0,1
0
0,2
0,3
0,4
0,5
f = 0,8
f = 0,4
f = 0
Il est facile de montrer que V C est une
fonction croissante de a (a ∈
0, p/2
) à
f donné, et de f à a donné.
La figure ci-contre montre différentes
courbes donnant l’évolution de V C en fonction de a (en rad) pour différentes valeurs
de f et L = 10 m.
mg
R
n
r
x
z
M
M 0
4 1. Le bilan des forces est présenté sur
la figure ci-contre. La relation fondamentale
de la dynamique appliquée au point M dans
le référentiel galiléen projetée sur la base de
Frenet conduit aux deux relations :
mg cos u − R = m
V
2
r
et
mg sin u = m
dV
dt
Ces relations ne sont pas utilisables en l’état, puisque R et u dépendent du temps d’une
manière que l’on ne connaît pas ; remarquons que la vitesse V n’est pas une inconnue
supplémentaire, puisque V = r
du
dt
tant que le point M est sur la sphère.
On peut cependant aller plus loin en écrivant la conservation de l’énergie, puisqu’il n’y a
pas de frottements (ou en appliquant le théorème de l’énergie cinétique). Il importe de
bien comprendre que cette invariance permet de relier la variable de lieu (en l’occurrence u)
à la vitesse. Tant que M reste en contact avec la sphère, l’énergie du point M dans le
champ de pesanteur terrestre s’écrit :
E =
1
2
mV
2 1 mgz =
1
2
mV
2 1 mgr cos u
en choisissant l’origine des énergies potentielles en z = 0. Comme en M 0 , on a
E = mgr cos u 0 , il vient V
2 = 2gr(cos u 0 − cos u). On peut alors calculer R en fonction
de u, en réinjectant la valeur de V dans la relation donnée par la projection de la relation
fondamentale de la dynamique sur la normale obtenue précédemment ; on trouve :
R = mg(3 cos u − 2 cos u 0 ).
2. On note que R diminue lorsque u augmente. Le point M quitte la sphère lorsque la
réaction du support s’annule, c’est-à-dire pour un angle u d tel que :
cos u d =
2
3
cos u 0
70
i
i
i
i
i
i
i
14
V C
(V C = V I )
12
10
8
6
4
2
0
0,1
0
0,2
0,3
0,4
0,5
f = 0,8
f = 0,4
f = 0
Il est facile de montrer que V C est une
fonction croissante de a (a ∈
0, p/2
) à
f donné, et de f à a donné.
La figure ci-contre montre différentes
courbes donnant l’évolution de V C en fonction de a (en rad) pour différentes valeurs
de f et L = 10 m.
mg
R
n
r
x
z
M
M 0
4 1. Le bilan des forces est présenté sur
la figure ci-contre. La relation fondamentale
de la dynamique appliquée au point M dans
le référentiel galiléen projetée sur la base de
Frenet conduit aux deux relations :
mg cos u − R = m
V
2
r
et
mg sin u = m
dV
dt
Ces relations ne sont pas utilisables en l’état, puisque R et u dépendent du temps d’une
manière que l’on ne connaît pas ; remarquons que la vitesse V n’est pas une inconnue
supplémentaire, puisque V = r
du
dt
tant que le point M est sur la sphère.
On peut cependant aller plus loin en écrivant la conservation de l’énergie, puisqu’il n’y a
pas de frottements (ou en appliquant le théorème de l’énergie cinétique). Il importe de
bien comprendre que cette invariance permet de relier la variable de lieu (en l’occurrence u)
à la vitesse. Tant que M reste en contact avec la sphère, l’énergie du point M dans le
champ de pesanteur terrestre s’écrit :
E =
1
2
mV
2 1 mgz =
1
2
mV
2 1 mgr cos u
en choisissant l’origine des énergies potentielles en z = 0. Comme en M 0 , on a
E = mgr cos u 0 , il vient V
2 = 2gr(cos u 0 − cos u). On peut alors calculer R en fonction
de u, en réinjectant la valeur de V dans la relation donnée par la projection de la relation
fondamentale de la dynamique sur la normale obtenue précédemment ; on trouve :
R = mg(3 cos u − 2 cos u 0 ).
2. On note que R diminue lorsque u augmente. Le point M quitte la sphère lorsque la
réaction du support s’annule, c’est-à-dire pour un angle u d tel que :
cos u d =
2
3
cos u 0
70