solutions des exercices
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∗ Cas où V < V i , donc R T < 0
R T
< fR N ⇒ m
g sin a −
V
2
L
cos a
< fm
V
2
L
sin a 1 g cos a
,
ce qui conduit à :
V
2 > gL
sin a − f cos a
f sin a 1 cos a
Si tan a < f , cette condition est toujours vérifiée puisque le terme de droite est négatif .
Si tan a > f , elle devient une contrainte qui borne inférieurement la vitesse. La plage de
vitesse permise pour que le véhicule ne glisse pas est alors telle que :
gL
sin a − f cos a
f sin a 1 cos a
< V
2 < gL tan a.
En clair, cela signifie que si l’on aborde le virage à une vitesse inférieure à la vitesse « idéale »
et que l’angle a est supérieur à la valeur seuil arctan f , la vitesse doit être supérieure à une
certaine valeur pour que le véhicule ne glisse pas latéralement vers le bas de la pente.
Notons que la largeur de la plage de vitesse permise tend vers zéro, lorsque f → 0, car
les deux bornes tendent vers la même valeur V i . Seule la vitesse ajustant la réaction dans
la direction normale à la piste est permise en l’absence de frottements.
∗ Cas où V > V i , donc R T > 0
R T
< fR N ⇒ m
V
2
L
cos a − g sin a
< fm
V
2
L
sin a 1 g cos a
ce qui conduit à :
V
2
cos a − f sin a
< gL
sin a 1 f cos a
Si cotana < f , cette inégalité est toujours vérifiée, et il suffit que V > V i pour que le
véhicule ne glisse pas.
Si cotana > f , la plage de vitesse permise pour que le véhicule ne glisse pas est telle que :
gL tan a < V
2 < gL
sin a 1 f cos a
cos a − f sin a
Cette plage se réduit naturellement à un point si f = 0 pour les mêmes raisons que pour
le premier cas.
La situation où V > V i est très différente de celle décrite dans le cas d’un sol horizontal.
On voit notamment que si le virage est suffisament relevé (cotan a < f ⇔ tan a >
1
f
), le
mouvement peut se faire sans glissement avec une vitesse aussi grande que l’on veut !
Le cas pertinent pour la sécurité routière est évidemment celui où cotana > f (les virages
des routes ne sont que « légèrement relevés » ; on retiendra alors que la vitesse critique V C
à ne pas dépasser pour rester en contact avec la route est :
V C =
gL
sin a 1 f cos a
cos a − f sin a
1. MÉCANIQUE
69
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∗ Cas où V < V i , donc R T < 0
R T
< fR N ⇒ m
g sin a −
V
2
L
cos a
< fm
V
2
L
sin a 1 g cos a
,
ce qui conduit à :
V
2 > gL
sin a − f cos a
f sin a 1 cos a
Si tan a < f , cette condition est toujours vérifiée puisque le terme de droite est négatif .
Si tan a > f , elle devient une contrainte qui borne inférieurement la vitesse. La plage de
vitesse permise pour que le véhicule ne glisse pas est alors telle que :
gL
sin a − f cos a
f sin a 1 cos a
< V
2 < gL tan a.
En clair, cela signifie que si l’on aborde le virage à une vitesse inférieure à la vitesse « idéale »
et que l’angle a est supérieur à la valeur seuil arctan f , la vitesse doit être supérieure à une
certaine valeur pour que le véhicule ne glisse pas latéralement vers le bas de la pente.
Notons que la largeur de la plage de vitesse permise tend vers zéro, lorsque f → 0, car
les deux bornes tendent vers la même valeur V i . Seule la vitesse ajustant la réaction dans
la direction normale à la piste est permise en l’absence de frottements.
∗ Cas où V > V i , donc R T > 0
R T
< fR N ⇒ m
V
2
L
cos a − g sin a
< fm
V
2
L
sin a 1 g cos a
ce qui conduit à :
V
2
cos a − f sin a
< gL
sin a 1 f cos a
Si cotana < f , cette inégalité est toujours vérifiée, et il suffit que V > V i pour que le
véhicule ne glisse pas.
Si cotana > f , la plage de vitesse permise pour que le véhicule ne glisse pas est telle que :
gL tan a < V
2 < gL
sin a 1 f cos a
cos a − f sin a
Cette plage se réduit naturellement à un point si f = 0 pour les mêmes raisons que pour
le premier cas.
La situation où V > V i est très différente de celle décrite dans le cas d’un sol horizontal.
On voit notamment que si le virage est suffisament relevé (cotan a < f ⇔ tan a >
1
f
), le
mouvement peut se faire sans glissement avec une vitesse aussi grande que l’on veut !
Le cas pertinent pour la sécurité routière est évidemment celui où cotana > f (les virages
des routes ne sont que « légèrement relevés » ; on retiendra alors que la vitesse critique V C
à ne pas dépasser pour rester en contact avec la route est :
V C =
gL
sin a 1 f cos a
cos a − f sin a
1. MÉCANIQUE
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