solutions des exercices
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b. dw est une puissance thermique, elle s’exprime donc en J · s
−1 . Donc le module de
− →
j Q s’exprime en J · s
−1
· m
−2 , et d’après la loi de Fourier il vient que l’unité de l est le
J · s
−1
· m
−1
· K
−1 .
4.
− →
j Q = −l
≠T
≠x
− → e x
5.a. dQ 1 est la chaleur reçue à travers S 1 , donc dQ 1 = dw 1 dt où dw 1 est le flux de chaleur
à travers S 1 dans le sens de (Ox). Soit :
dQ 1 =
− →
j Q .d
− →
S dt = −l
≠T
≠x
(x, t) − → e x .S − → e x .dt ⇒ dQ 1 = −l
≠T
≠x
(x, t) Sdt
b. De même la chaleur cédée à travers S 2 est :
dQ 2 =
− →
j Q .d
− →
S dt = −l
≠T
≠x
(x 1 dx, t) − → e x .S − → e x .dt
⇒ dQ 2 = −l
≠T
≠x
(x 1 dx, t) Sdt.
c. Il n’y a pas d’échange possible d’énergie thermique à travers S l puisque l’on suppose
que T ne dépend que de x et de t.
d. d
2 Q = dQ 1 − dQ 2 = −l
≠T
≠x
(x, t) Sdt 1 l
≠T
≠x
(x 1 dx, t) Sdt
⇒ d
2 Q = lSdt
≠T
≠x
(x 1 dx, t) −
≠T
≠x
(x, t)
, finalement d
2 Q = lSdt
≠
2 T
≠x 2 (x, t) dx.
e. On peut appliquer le premier principe de la thermodynamique à la portion de solide
dU = dW 1 dQ. Il n’y a pas de travail échangé donc dW = 0, et la variation d’énergie
interne est donc donnée par dU = d
2 Q. Par ailleurs, on a pour un solide dU = mcdT ,
où la masse m de la portion de solide est m = rSdx. Il vient donc rSdxcdT = d
2 Q.
f. dT =
≠T
≠t
(x, t) dt.
g. En égalant les deux expressions de d
2 Q : rSdxcdT = lSdt
≠
2 T
≠x 2 (x, t) dx, en simplifiant
et en remplaçant dT :
≠T
≠t
=
l
rc
≠
2 T
≠x 2 (x, t) ⇒ a =
l
rc
6. Le moment le plus froid est atteint lorsque le cosinus vaut (−1). Soit cos(vt1w) = −1,
et à ce moment on a choisi t = 0, donc cos w = −1 ⇒ w = p.
7.a. T = T m 1 u (z, t) est solution de l’équation de la chaleur
≠T
≠t
= a
≠
2 T
≠z 2 (z, t), et
puisque T m est une constante u (z, t) est également solution. Par ailleurs, si l’on recherche
u (z, t) solution de l’équation de la chaleur, qui est linéaire, on est assuré que sa partie
réelle u (z, t) l’est également.
8. THERMODYNAMIQUE
701
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b. dw est une puissance thermique, elle s’exprime donc en J · s
−1 . Donc le module de
− →
j Q s’exprime en J · s
−1
· m
−2 , et d’après la loi de Fourier il vient que l’unité de l est le
J · s
−1
· m
−1
· K
−1 .
4.
− →
j Q = −l
≠T
≠x
− → e x
5.a. dQ 1 est la chaleur reçue à travers S 1 , donc dQ 1 = dw 1 dt où dw 1 est le flux de chaleur
à travers S 1 dans le sens de (Ox). Soit :
dQ 1 =
− →
j Q .d
− →
S dt = −l
≠T
≠x
(x, t) − → e x .S − → e x .dt ⇒ dQ 1 = −l
≠T
≠x
(x, t) Sdt
b. De même la chaleur cédée à travers S 2 est :
dQ 2 =
− →
j Q .d
− →
S dt = −l
≠T
≠x
(x 1 dx, t) − → e x .S − → e x .dt
⇒ dQ 2 = −l
≠T
≠x
(x 1 dx, t) Sdt.
c. Il n’y a pas d’échange possible d’énergie thermique à travers S l puisque l’on suppose
que T ne dépend que de x et de t.
d. d
2 Q = dQ 1 − dQ 2 = −l
≠T
≠x
(x, t) Sdt 1 l
≠T
≠x
(x 1 dx, t) Sdt
⇒ d
2 Q = lSdt
≠T
≠x
(x 1 dx, t) −
≠T
≠x
(x, t)
, finalement d
2 Q = lSdt
≠
2 T
≠x 2 (x, t) dx.
e. On peut appliquer le premier principe de la thermodynamique à la portion de solide
dU = dW 1 dQ. Il n’y a pas de travail échangé donc dW = 0, et la variation d’énergie
interne est donc donnée par dU = d
2 Q. Par ailleurs, on a pour un solide dU = mcdT ,
où la masse m de la portion de solide est m = rSdx. Il vient donc rSdxcdT = d
2 Q.
f. dT =
≠T
≠t
(x, t) dt.
g. En égalant les deux expressions de d
2 Q : rSdxcdT = lSdt
≠
2 T
≠x 2 (x, t) dx, en simplifiant
et en remplaçant dT :
≠T
≠t
=
l
rc
≠
2 T
≠x 2 (x, t) ⇒ a =
l
rc
6. Le moment le plus froid est atteint lorsque le cosinus vaut (−1). Soit cos(vt1w) = −1,
et à ce moment on a choisi t = 0, donc cos w = −1 ⇒ w = p.
7.a. T = T m 1 u (z, t) est solution de l’équation de la chaleur
≠T
≠t
= a
≠
2 T
≠z 2 (z, t), et
puisque T m est une constante u (z, t) est également solution. Par ailleurs, si l’on recherche
u (z, t) solution de l’équation de la chaleur, qui est linéaire, on est assuré que sa partie
réelle u (z, t) l’est également.
8. THERMODYNAMIQUE
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