i
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i
i
i
i
i
i
b.
≠u
≠t
= a
≠
2 u
≠z 2 (z, t) et u (z, t) = u A (z) e
jvt . Donc jvu A (z) e
jvt = a
≠
2 u A
≠z 2 e
jvt , et u A (z)
doit satisfaire à l’équation différentielle :
≠
2 u A
≠z 2 = k
2 u A avec k
2 =
jv
a
.
c. Le nombre complexe défini par k =
v
2a
1j
v
2a
est racine de k
2 =
jv
a
, et l’équation
à résoudre est de la forme
≠
2 u A
≠z 2 = k
2 u A . Les solutions sont du type u A = Ce
kz 1 C
e
−kz ,
où C et C’ sont des constantes. Donc on a :
u (z, t) =
Ce
kz 1 C
e
−kz
e
jvt
d. Dans l’expression de u (z, t) ci-dessus le premier terme correspond à une onde se
propageant dans le sens des z décroissants et le deuxième terme correspond à une onde
se propageant dans le sens des z croissants. Le deuxième terme est donc inacceptable
puisque l’onde doit se propager ici dans le sens des z décroissants (de l’air vers le sol). On
en déduit C
= 0.
e. Il reste u (z, t) = Ce
kz1jvt .
En z = 0, u (0, t) = C cos (vt) = T A cos (vt 1 p) = −T A cos (vt) ceci ∀t, donc
C = −T A . En remplaçant :
u (z, t) = −T A e
kz1jvt
⇒ u (z, t) = −T A e
√ v
2a
z e
j
√ v
2a
z1vt
⇒ T (z, t) = T m − T A e
az cos (az 1 vt)
avec a =
v
2a
.
8.a. L’amplitude des variations annuelles est T A e
azm à la profondeur |z m |. À l’extérieur
l’amplitude des variations est de T A . Il faut donc :
e
azm =
1
10
⇒ az m = − n 10 ⇒ z m = −
n 10
a
A.N. z m = − n (10)
2 3 3 · 10
−7 3 365 3 24 3 3 600
2.p
= −4 m.
b. T (z, t) = T m − T A e
az cos (az 1 vt). Le moment le plus froid est obtenu lorsque le
cosinus vaut 1, soit az m 1 vt = 2p ⇒ t =
2p
v
−
az m
v
.
A.N. t = 231 jours = 7,7 mois, le moment le plus froid se produit donc au cours du
mois de septembre (puisque t = 0 au 1
er février).
702
i
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b.
≠u
≠t
= a
≠
2 u
≠z 2 (z, t) et u (z, t) = u A (z) e
jvt . Donc jvu A (z) e
jvt = a
≠
2 u A
≠z 2 e
jvt , et u A (z)
doit satisfaire à l’équation différentielle :
≠
2 u A
≠z 2 = k
2 u A avec k
2 =
jv
a
.
c. Le nombre complexe défini par k =
v
2a
1j
v
2a
est racine de k
2 =
jv
a
, et l’équation
à résoudre est de la forme
≠
2 u A
≠z 2 = k
2 u A . Les solutions sont du type u A = Ce
kz 1 C
e
−kz ,
où C et C’ sont des constantes. Donc on a :
u (z, t) =
Ce
kz 1 C
e
−kz
e
jvt
d. Dans l’expression de u (z, t) ci-dessus le premier terme correspond à une onde se
propageant dans le sens des z décroissants et le deuxième terme correspond à une onde
se propageant dans le sens des z croissants. Le deuxième terme est donc inacceptable
puisque l’onde doit se propager ici dans le sens des z décroissants (de l’air vers le sol). On
en déduit C
= 0.
e. Il reste u (z, t) = Ce
kz1jvt .
En z = 0, u (0, t) = C cos (vt) = T A cos (vt 1 p) = −T A cos (vt) ceci ∀t, donc
C = −T A . En remplaçant :
u (z, t) = −T A e
kz1jvt
⇒ u (z, t) = −T A e
√ v
2a
z e
j
√ v
2a
z1vt
⇒ T (z, t) = T m − T A e
az cos (az 1 vt)
avec a =
v
2a
.
8.a. L’amplitude des variations annuelles est T A e
azm à la profondeur |z m |. À l’extérieur
l’amplitude des variations est de T A . Il faut donc :
e
azm =
1
10
⇒ az m = − n 10 ⇒ z m = −
n 10
a
A.N. z m = − n (10)
2 3 3 · 10
−7 3 365 3 24 3 3 600
2.p
= −4 m.
b. T (z, t) = T m − T A e
az cos (az 1 vt). Le moment le plus froid est obtenu lorsque le
cosinus vaut 1, soit az m 1 vt = 2p ⇒ t =
2p
v
−
az m
v
.
A.N. t = 231 jours = 7,7 mois, le moment le plus froid se produit donc au cours du
mois de septembre (puisque t = 0 au 1
er février).
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