solutions des exercices
i
i
i
i
i
i
i
i
c. Sur un cycle la variation totale d’énergie interne est nulle : DU = 0. Par ailleurs, c’est
également la somme de la variation d’énergie interne de chacune des transformations
intermédiaires. Cette variation peut être calculée en utilisant DU = W 1 Q (somme du
travail et de la chaleur échangés).
– Transformation E-F : compression isotherme d’un gaz parfait DU EF = 0
– Transformation F-G : changement de phase (vapeur → liquide) à la température T
et
à la pression P’. Q FG = −L
et W FG =
−P
dV = −P
DV = −P
V
l − V
g
, et on
néglige le volume molaire du liquide par rapport à celui de la vapeur donc W FG = P
V
g .
– Transformation G-H : compression isobare à la pression P
du liquide pour passer de T
à
T. W = −P
(V H − V G ) 0 (liquide quasiment incompressible) et Q = C pl
T − T
.
– Transformation H-I : compression isotherme de l’eau liquide ; D’après le texte Q HI 0
et toujours W 0 pour le liquide.
– Transformation I-J : changement de phase (liquide → vapeur) à la température T et à
la pression P. W =
−PdV = −P
V g − V l
−PV g et Q = L.
– Transformation J-E : dilatation isobare à la pression P du gaz parfait pour passer de T
à T
. W = −P
V E − V g
et Q = DH = C pg
T
− T
(la chaleur est donnée par la
variation d’enthalpie, puisque la transformation est isobare).
Finalement :
0 1 P
V
g − L
1 C pl
T − T
1 0 − P/ V g 1 L 1 C pg
T
− T
− P
V E − / V g
= 0
en écrivant la loi des gaz parfaits au point E, on a PV E = RT
et au point J : P
V
g = RT
.
Il vient alors L − L
=
C pl − C pg
T
− T
.
d. Par analogie avec l’expression précédente L = L 0 − aT avec a = C pl − C pg et
L 0 = L
1
C pl − C pg
T
.
3 1. Soit Q la chaleur échangée par l’ensemble (récipient + eau) durant le temps t. Elle
s’écrit Q = mc r (T − T 0 ) 1 m eau c (T − T 0 ), où T = 100
◦ C. Comme on néglige toute
perte thermique on a également Q = Pt. Il vient donc : t =
1
P
(T − T 0 ) (mc r 1 m eau c).
A.N. t =
1
2 · 10 3 (100 − 20) (4,2 3 460 1 4 180) = 245 s 4 min.
2. T désigne maintenant la température du système à un instant t quelconque. Le
bilan énergétique entre t et t 1 dt, où la température du système varie de dT , s’écrit :
mc r dT 1 m eau cdT 1 P
dt = Pdt, soit (mc r 1 m eau c)dT 1 K (T − T 0 ) dt = Pdt. En
séparant les variables, et en intégrant :
T
T 0
mc r 1 m eau c
P − K (T − T 0 )
dT =
t
0
dt ⇒ t =
mc r 1 m eau c
−K
n
P − K (T − T 0 )
P
A.N. t =
4,2 3 460 1 4 180
−4
n
1 −
4 3 (100 − 20)
2 · 10 3
= 266 s ≈ 4 min26 s.
8. THERMODYNAMIQUE
689
i
i
i
i
i
i
i
i
c. Sur un cycle la variation totale d’énergie interne est nulle : DU = 0. Par ailleurs, c’est
également la somme de la variation d’énergie interne de chacune des transformations
intermédiaires. Cette variation peut être calculée en utilisant DU = W 1 Q (somme du
travail et de la chaleur échangés).
– Transformation E-F : compression isotherme d’un gaz parfait DU EF = 0
– Transformation F-G : changement de phase (vapeur → liquide) à la température T
et
à la pression P’. Q FG = −L
et W FG =
−P
dV = −P
DV = −P
V
l − V
g
, et on
néglige le volume molaire du liquide par rapport à celui de la vapeur donc W FG = P
V
g .
– Transformation G-H : compression isobare à la pression P
du liquide pour passer de T
à
T. W = −P
(V H − V G ) 0 (liquide quasiment incompressible) et Q = C pl
T − T
.
– Transformation H-I : compression isotherme de l’eau liquide ; D’après le texte Q HI 0
et toujours W 0 pour le liquide.
– Transformation I-J : changement de phase (liquide → vapeur) à la température T et à
la pression P. W =
−PdV = −P
V g − V l
−PV g et Q = L.
– Transformation J-E : dilatation isobare à la pression P du gaz parfait pour passer de T
à T
. W = −P
V E − V g
et Q = DH = C pg
T
− T
(la chaleur est donnée par la
variation d’enthalpie, puisque la transformation est isobare).
Finalement :
0 1 P
V
g − L
1 C pl
T − T
1 0 − P/ V g 1 L 1 C pg
T
− T
− P
V E − / V g
= 0
en écrivant la loi des gaz parfaits au point E, on a PV E = RT
et au point J : P
V
g = RT
.
Il vient alors L − L
=
C pl − C pg
T
− T
.
d. Par analogie avec l’expression précédente L = L 0 − aT avec a = C pl − C pg et
L 0 = L
1
C pl − C pg
T
.
3 1. Soit Q la chaleur échangée par l’ensemble (récipient + eau) durant le temps t. Elle
s’écrit Q = mc r (T − T 0 ) 1 m eau c (T − T 0 ), où T = 100
◦ C. Comme on néglige toute
perte thermique on a également Q = Pt. Il vient donc : t =
1
P
(T − T 0 ) (mc r 1 m eau c).
A.N. t =
1
2 · 10 3 (100 − 20) (4,2 3 460 1 4 180) = 245 s 4 min.
2. T désigne maintenant la température du système à un instant t quelconque. Le
bilan énergétique entre t et t 1 dt, où la température du système varie de dT , s’écrit :
mc r dT 1 m eau cdT 1 P
dt = Pdt, soit (mc r 1 m eau c)dT 1 K (T − T 0 ) dt = Pdt. En
séparant les variables, et en intégrant :
T
T 0
mc r 1 m eau c
P − K (T − T 0 )
dT =
t
0
dt ⇒ t =
mc r 1 m eau c
−K
n
P − K (T − T 0 )
P
A.N. t =
4,2 3 460 1 4 180
−4
n
1 −
4 3 (100 − 20)
2 · 10 3
= 266 s ≈ 4 min26 s.
8. THERMODYNAMIQUE
689