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i
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5. On considère la portion de solide ci-après :
x + dx
x
x
O
1
Σ
Σ
2
Σ
La portion de solide considérée est délimitée par la surface fermée constituée des surfaces
S 1 , S 2 et S . Les points de S 1 ont tous la même abscisse x, ceux de S 2 ont pour abscisse
x 1 dx. On note S l’aire des surfaces S 1 et S 2 . La surface S est une portion de cylindre
de hauteur dx dont les génératrices sont parallèles à l’axe (Ox).
On suppose par ailleurs qu’il n’y a pas de source thermique dans le solide.
a. Soit dQ 1 la quantité de chaleur élémentaire reçue par la portion de solide à travers la
surface S 1 entre l’instant t et l’instant (t 1 dt). Exprimer dQ 1 en fonction de l, S, dt et
d’une dérivée partielle de T. On aura soin de préciser les valeurs des variables de la dérivée
partielle.
b. De même, dQ 2 représente la quantité de chaleur élémentaire cédée par la portion
de solide à travers la surface S 2 entre l’instant t et l’instant (t 1 dt). Exprimer dQ 2 en
fonction de l, S, dt et d’une dérivée partielle de T. On aura soin de préciser les valeurs
des variables de la dérivée partielle.
c. Justifier que la portion de solide n’échange aucune énergie thermique à travers S .
d. Soit d
2 Q la quantité de chaleur totale reçue par la portion de solide entre les instants t
et (t 1 dt). Relier d
2 Q à dQ 1 et dQ 2 . Exprimer ensuite d
2 Q en fonction d’une dérivée de
T, l, S, dt et dx.
e. Relier également d
2 Q à la variation entre ces deux instants, de la température dT de
la portion étudiée. On fera intervenir les grandeurs r, c, S et dx.
f. Exprimer la variation de température dT entre les instants t et (t 1 dt) en fonction
d’une dérivée partielle de T (x, t) et de dt.
g. Déduire des trois questions précédentes que l’on obtient l’équation différentielle
suivante :
≠T
≠t
= a
≠
2 T
≠x 2
Préciser l’expression de a en fonction de la masse volumique r, de la chaleur massique c
et de la conductivité thermique l. Cette relation constitue l’équation de la chaleur à une
dimension. Le coefficient a est appelé diffusivité thermique.
Diffusion de la chaleur dans le sol
Le sol est assimilé à un milieu solide homogène de masse volumique r, de chaleur
massique c et de conductivité thermique l. Il occupe le demi-espace d’équation z < 0, et
est surmonté par l’air dont la température moyennée sur une durée assez longue (de l’ordre
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5. On considère la portion de solide ci-après :
x + dx
x
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2
Σ
La portion de solide considérée est délimitée par la surface fermée constituée des surfaces
S 1 , S 2 et S . Les points de S 1 ont tous la même abscisse x, ceux de S 2 ont pour abscisse
x 1 dx. On note S l’aire des surfaces S 1 et S 2 . La surface S est une portion de cylindre
de hauteur dx dont les génératrices sont parallèles à l’axe (Ox).
On suppose par ailleurs qu’il n’y a pas de source thermique dans le solide.
a. Soit dQ 1 la quantité de chaleur élémentaire reçue par la portion de solide à travers la
surface S 1 entre l’instant t et l’instant (t 1 dt). Exprimer dQ 1 en fonction de l, S, dt et
d’une dérivée partielle de T. On aura soin de préciser les valeurs des variables de la dérivée
partielle.
b. De même, dQ 2 représente la quantité de chaleur élémentaire cédée par la portion
de solide à travers la surface S 2 entre l’instant t et l’instant (t 1 dt). Exprimer dQ 2 en
fonction de l, S, dt et d’une dérivée partielle de T. On aura soin de préciser les valeurs
des variables de la dérivée partielle.
c. Justifier que la portion de solide n’échange aucune énergie thermique à travers S .
d. Soit d
2 Q la quantité de chaleur totale reçue par la portion de solide entre les instants t
et (t 1 dt). Relier d
2 Q à dQ 1 et dQ 2 . Exprimer ensuite d
2 Q en fonction d’une dérivée de
T, l, S, dt et dx.
e. Relier également d
2 Q à la variation entre ces deux instants, de la température dT de
la portion étudiée. On fera intervenir les grandeurs r, c, S et dx.
f. Exprimer la variation de température dT entre les instants t et (t 1 dt) en fonction
d’une dérivée partielle de T (x, t) et de dt.
g. Déduire des trois questions précédentes que l’on obtient l’équation différentielle
suivante :
≠T
≠t
= a
≠
2 T
≠x 2
Préciser l’expression de a en fonction de la masse volumique r, de la chaleur massique c
et de la conductivité thermique l. Cette relation constitue l’équation de la chaleur à une
dimension. Le coefficient a est appelé diffusivité thermique.
Diffusion de la chaleur dans le sol
Le sol est assimilé à un milieu solide homogène de masse volumique r, de chaleur
massique c et de conductivité thermique l. Il occupe le demi-espace d’équation z < 0, et
est surmonté par l’air dont la température moyennée sur une durée assez longue (de l’ordre
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