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du mois) évolue au rythme des saisons. On note T air (t) cette température moyennée sur
un mois, et on modélise son évolution dans le temps par une variation sinusoïdale centrée
sur la valeur moyenne annuelle de la température notée T m :
T air (t) = T m 1 T A cos (vt 1 w)
La pulsation v correspond à une période égale à un an. Par ailleurs, T m est supposée
constante. De même, on note T (M, t) la température moyennée sur un mois au point
M
x, y, z
du sol à l’instant t. La situation étant invariante par translation selon les
directions − → i et
− →
j du plan
Oxy
, T n’est fonction que de z et de t.
Par hypothèse, la température du sol au contact avec l’air, en z = 0, est la même que
la température de l’air qui le surplombe, ce qui fournit une première condition limite :
T (z = 0, t) = T air (t) = T m 1 T A cos (vt 1 w)
6. En faisant coïncider l’origine des temps avec le moment le plus froid de l’année (pris
ici au 1
er février), quelle est la valeur de w ? On suppose que T A est positif.
7. On pose u (z, t) = T (z, t) − T m . À z fixé, u (z, t) est une fonction sinusoïdale
du temps, car on se situe en régime sinusoïdal forcé, de pulsation v. On introduit la
fonction complexe u (z, t) = u A (z) exp (jvt), avec j
2 = −1. On recherche les solutions
de l’équation de la chaleur sous la forme T (z, t) = T m 1 Re (u (z, t)).
Dans cette partie, on notera que l’équation de la chaleur a pour expression
≠T
≠t
= a
≠
2 T
≠z 2 ,
la diffusivité thermique a ayant l’expression déterminée à la question 5.g.
a. Justifier que u (z, t), puis u (z, t) sont solutions de l’équation de la chaleur.
b. Établir l’équation différentielle vérifiée par u A (z).
c. Donner la forme générale de la solution en u A (z), puis en u (z, t).
d. Dans les deux termes que comporte u (z, t), identifier celui qui correspond à une
onde se propageant dans le sens des z croissants, et celui qui correspond à une onde se
propageant dans le sens des z décroissants. Lequel de ces deux termes est physiquement
inacceptable et pourquoi ? En déduire la valeur de l’une des deux constantes d’intégration
qui interviennent dans l’expression de u A (z).
e. Déterminer l’expression de l’autre constante d’intégration, et fournir l’expression définitive de T (z, t) dans le sol.
8. On fournit la valeur numérique de la diffusivité thermique a = 3 · 10
−7 u SI. La valeur
numérique de v se déduit de l’énoncé.
a. Soit une cave dont la profondeur moyenne vaut |z m |. On admet que la température
de cette cave est la même que celle du sol voisin à la côte z m . À quelle profondeur faut-il
creuser une cave pour que l’amplitude des variations annuelles de température ne soit plus
que le dixième de ce qu’elle est à l’extérieur ?
b. À quel moment de l’année fait-il le plus froid dans la cave creusée à une telle profondeur ?
8. THERMODYNAMIQUE
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du mois) évolue au rythme des saisons. On note T air (t) cette température moyennée sur
un mois, et on modélise son évolution dans le temps par une variation sinusoïdale centrée
sur la valeur moyenne annuelle de la température notée T m :
T air (t) = T m 1 T A cos (vt 1 w)
La pulsation v correspond à une période égale à un an. Par ailleurs, T m est supposée
constante. De même, on note T (M, t) la température moyennée sur un mois au point
M
x, y, z
du sol à l’instant t. La situation étant invariante par translation selon les
directions − → i et
− →
j du plan
Oxy
, T n’est fonction que de z et de t.
Par hypothèse, la température du sol au contact avec l’air, en z = 0, est la même que
la température de l’air qui le surplombe, ce qui fournit une première condition limite :
T (z = 0, t) = T air (t) = T m 1 T A cos (vt 1 w)
6. En faisant coïncider l’origine des temps avec le moment le plus froid de l’année (pris
ici au 1
er février), quelle est la valeur de w ? On suppose que T A est positif.
7. On pose u (z, t) = T (z, t) − T m . À z fixé, u (z, t) est une fonction sinusoïdale
du temps, car on se situe en régime sinusoïdal forcé, de pulsation v. On introduit la
fonction complexe u (z, t) = u A (z) exp (jvt), avec j
2 = −1. On recherche les solutions
de l’équation de la chaleur sous la forme T (z, t) = T m 1 Re (u (z, t)).
Dans cette partie, on notera que l’équation de la chaleur a pour expression
≠T
≠t
= a
≠
2 T
≠z 2 ,
la diffusivité thermique a ayant l’expression déterminée à la question 5.g.
a. Justifier que u (z, t), puis u (z, t) sont solutions de l’équation de la chaleur.
b. Établir l’équation différentielle vérifiée par u A (z).
c. Donner la forme générale de la solution en u A (z), puis en u (z, t).
d. Dans les deux termes que comporte u (z, t), identifier celui qui correspond à une
onde se propageant dans le sens des z croissants, et celui qui correspond à une onde se
propageant dans le sens des z décroissants. Lequel de ces deux termes est physiquement
inacceptable et pourquoi ? En déduire la valeur de l’une des deux constantes d’intégration
qui interviennent dans l’expression de u A (z).
e. Déterminer l’expression de l’autre constante d’intégration, et fournir l’expression définitive de T (z, t) dans le sol.
8. On fournit la valeur numérique de la diffusivité thermique a = 3 · 10
−7 u SI. La valeur
numérique de v se déduit de l’énoncé.
a. Soit une cave dont la profondeur moyenne vaut |z m |. On admet que la température
de cette cave est la même que celle du sol voisin à la côte z m . À quelle profondeur faut-il
creuser une cave pour que l’amplitude des variations annuelles de température ne soit plus
que le dixième de ce qu’elle est à l’extérieur ?
b. À quel moment de l’année fait-il le plus froid dans la cave creusée à une telle profondeur ?
8. THERMODYNAMIQUE
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