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Si on note U V l’énergie volumique, qui dépend a priori des variables x et t, on peut
également écrire ce bilan d’énergie sous la forme
≠U V
≠t
= −
≠j
≠x
, appelée équation de
continuité.
• Bilan d’énergie : cas général
Le calcul précédent se généralise au cas où le vecteur
− →
j prend n’importe quelle direction
dans l’espace : il a donc trois composantes j x , j y et j z . On considère alors un parallélépipède
de volume élémentaire dV = dx dy dz dont on évalue la variation d’énergie interne
pendant dt, en comptabilisant les flux de chaleur à travers chacune des six faces. On
obtient :
≠U V
≠t
= −
≠j x
≠x
−
≠j y
≠y
−
≠j z
≠z
= − div
− →
j
Cette équation de conservation de l’énergie est l’analogue, par exemple, de l’équation de
conservation de la densité de charge r en électrostatique
≠r
≠t
1 div
− →
j = 0, où
− →
j est alors
la densité de courant de charges.
• L’équation de la chaleur
En combinant le bilan d’énergie obtenu ci-dessus avec la loi de Fourier, on obtient
l’équation de la chaleur. La variation d’énergie interne volumique pendant dt est
≠U V
≠t
= − div
− →
j avec
− →
j = −lgradT , il vient donc :
≠U V
≠t
= lDT = l
≠
2 T
≠x 2 1
≠
2 T
≠y 2 1
≠
2 T
≠z 2
Dans le cas unidimensionnel, cette équation devient
≠U V
≠t
= l
≠
2 T
≠x 2
.
Suivant les problèmes envisagés, il y a ensuite essentiellement deux façons différentes
d’exploiter cette équation de la chaleur.
– Si le régime est supposé permanent, on doit avoir à une abscisse x donnée
≠U V
≠t
= 0.
L’équation de la chaleur devient donc DT = 0.
– Si le régime n’est pas permanent, et que le système envisagé est un solide ou un liquide
de capacité calorifique massique c constante, alors on peut écrire pour un élément de
volume de masse m, dU = mcdT , soit encore dU V = rcdT , et l’équation de la chaleur
devient donc :
DT =
rc
l
≠T
≠t
➜ Voir exercice 8.
672
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Si on note U V l’énergie volumique, qui dépend a priori des variables x et t, on peut
également écrire ce bilan d’énergie sous la forme
≠U V
≠t
= −
≠j
≠x
, appelée équation de
continuité.
• Bilan d’énergie : cas général
Le calcul précédent se généralise au cas où le vecteur
− →
j prend n’importe quelle direction
dans l’espace : il a donc trois composantes j x , j y et j z . On considère alors un parallélépipède
de volume élémentaire dV = dx dy dz dont on évalue la variation d’énergie interne
pendant dt, en comptabilisant les flux de chaleur à travers chacune des six faces. On
obtient :
≠U V
≠t
= −
≠j x
≠x
−
≠j y
≠y
−
≠j z
≠z
= − div
− →
j
Cette équation de conservation de l’énergie est l’analogue, par exemple, de l’équation de
conservation de la densité de charge r en électrostatique
≠r
≠t
1 div
− →
j = 0, où
− →
j est alors
la densité de courant de charges.
• L’équation de la chaleur
En combinant le bilan d’énergie obtenu ci-dessus avec la loi de Fourier, on obtient
l’équation de la chaleur. La variation d’énergie interne volumique pendant dt est
≠U V
≠t
= − div
− →
j avec
− →
j = −lgradT , il vient donc :
≠U V
≠t
= lDT = l
≠
2 T
≠x 2 1
≠
2 T
≠y 2 1
≠
2 T
≠z 2
Dans le cas unidimensionnel, cette équation devient
≠U V
≠t
= l
≠
2 T
≠x 2
.
Suivant les problèmes envisagés, il y a ensuite essentiellement deux façons différentes
d’exploiter cette équation de la chaleur.
– Si le régime est supposé permanent, on doit avoir à une abscisse x donnée
≠U V
≠t
= 0.
L’équation de la chaleur devient donc DT = 0.
– Si le régime n’est pas permanent, et que le système envisagé est un solide ou un liquide
de capacité calorifique massique c constante, alors on peut écrire pour un élément de
volume de masse m, dU = mcdT , soit encore dU V = rcdT , et l’équation de la chaleur
devient donc :
DT =
rc
l
≠T
≠t
➜ Voir exercice 8.
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