i
i
i
i
i
i
i
i
isotrope :
− →
j = −l
− − →
gradT
T désigne la température en chaque point du milieu. l est une constante qui ne dépend
que du milieu, appelée conductivité thermique.
Dans le cas des transferts de chaleur suivant un axe Ox, cette loi s’écrit :
j (x, t) = −l
dT
dx
L’unité de l est le W · m
−1
· K
−1 . Par ailleurs, pour les gaz, l croît avec la température,
alors qu’il dépend peu de la pression. Enfin, la conductivité thermique d’un solide est plus
grande que celle d’un liquide, elle-même supérieure à celle du gaz.
Le signe « moins » de la loi de Fourier exprime simplement que les transferts de chaleur
se font nécessairement des zones où la température est la plus élevée vers les zones où la
température est plus basse.
Il y a analogie entre la loi de Fourier et la loi de Fick qui établit la densité de courant
particulaire
− →
j N dans le phénomène de la diffusion moléculaire :
− →
j N = −D
− − →
gradN , où D
est le coefficient de diffusion et N le nombre de molécules par unité de volume.
11.4. Les équations de la diffusion thermique
• Bilan d’énergie unidimensionnel
S
u x
x
x + dx
x
On considère le cas où les transferts
de chaleur se font dans une seule
direction : selon un axe Ox. Par
ailleurs, toutes les variables d’état
caractérisant le milieu matériel ne
sont également fonction que de
l’abscisse x et du temps t. Soit un
cylindre d’axe Ox, et de section S.
On calcule la variation d’énergie interne de ce cylindre pendant le temps dt. On suppose
toujours que les variations de l’énergie interne sont dues aux seuls échanges de chaleur
avec l’extérieur, on a donc :
dU = U (x, t 1 dt) − U (x, t) = dQ = w (x) dt − w (x 1 dx) dt
où w (x) est le flux de chaleur traversant la section du cylindre se trouvant à l’abscisse x
pendant dt et dans le sens de Ox. Soit
− →
j le vecteur densité de courant thermique, on a
− →
j = j (x, t) − → u x et le flux de chaleur est donc w (x) = j (x, t) Sdt. Il vient alors,
dU = j (x, t) Sdt − j (x 1 dx, t) Sdt
soit encore
dU = −
≠j (x, t)
≠x
dxSdt
8. THERMODYNAMIQUE
671
i
i
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isotrope :
− →
j = −l
− − →
gradT
T désigne la température en chaque point du milieu. l est une constante qui ne dépend
que du milieu, appelée conductivité thermique.
Dans le cas des transferts de chaleur suivant un axe Ox, cette loi s’écrit :
j (x, t) = −l
dT
dx
L’unité de l est le W · m
−1
· K
−1 . Par ailleurs, pour les gaz, l croît avec la température,
alors qu’il dépend peu de la pression. Enfin, la conductivité thermique d’un solide est plus
grande que celle d’un liquide, elle-même supérieure à celle du gaz.
Le signe « moins » de la loi de Fourier exprime simplement que les transferts de chaleur
se font nécessairement des zones où la température est la plus élevée vers les zones où la
température est plus basse.
Il y a analogie entre la loi de Fourier et la loi de Fick qui établit la densité de courant
particulaire
− →
j N dans le phénomène de la diffusion moléculaire :
− →
j N = −D
− − →
gradN , où D
est le coefficient de diffusion et N le nombre de molécules par unité de volume.
11.4. Les équations de la diffusion thermique
• Bilan d’énergie unidimensionnel
S
u x
x
x + dx
x
On considère le cas où les transferts
de chaleur se font dans une seule
direction : selon un axe Ox. Par
ailleurs, toutes les variables d’état
caractérisant le milieu matériel ne
sont également fonction que de
l’abscisse x et du temps t. Soit un
cylindre d’axe Ox, et de section S.
On calcule la variation d’énergie interne de ce cylindre pendant le temps dt. On suppose
toujours que les variations de l’énergie interne sont dues aux seuls échanges de chaleur
avec l’extérieur, on a donc :
dU = U (x, t 1 dt) − U (x, t) = dQ = w (x) dt − w (x 1 dx) dt
où w (x) est le flux de chaleur traversant la section du cylindre se trouvant à l’abscisse x
pendant dt et dans le sens de Ox. Soit
− →
j le vecteur densité de courant thermique, on a
− →
j = j (x, t) − → u x et le flux de chaleur est donc w (x) = j (x, t) Sdt. Il vient alors,
dU = j (x, t) Sdt − j (x 1 dx, t) Sdt
soit encore
dU = −
≠j (x, t)
≠x
dxSdt
8. THERMODYNAMIQUE
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