solutions des exercices
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3 1. La figure ci-dessous présente le bilan des forces et définit les vecteurs de la base
de Frenet. Dans cette base, l’accélération a pour expression :
− → a =
V
2
L
− → n 1
dV
dt
− → t
où la vitesse du point M est
− →
V = V − → t . Le rayon de courbure de la trajectoire est constant
et égal à celui du cercle L, − → n et − → t désignent respectivement les vecteurs unitaires normal
et tangent à la trajectoire au point M. Le mouvement étant de plus uniforme, la valeur
de la vitesse est constante (mais évidemment pas le vecteur vitesse) de sorte que pour un
tel mouvement, l’accélération est purement normale :
− → a =
V
2
L
− → n
Notons alors que − → a →
− →
0 , si V = 0, ce qui correspond à l’immobilité, ou si L → ∞, ce
qui correspond à un mouvement uniforme sur un objet géométrique de rayon de courbure
infini, à savoir une droite ; on retrouve évidemment le principe de l’inertie.
vue de dessus
vue dans le plan vertical
contenant O et M
O
M
M
L
z
mg
n
τ
R L
R L
R z
La relation fondamentale de la dynamique appliquée au point M dans le référentiel
galiléen lié à la terre, et exprimée dans la base de Frenet montre la nécessité d’une force
normale à la trajectoire, de valeur constante, qui se trouve être ici la composante latérale
de la réaction du support
− →
R L = m
V
2
L
− → n
(il importe de bien distinguer la normale à la trajectoire et la normale au sol). On note
qu’en l’absence totale de frottements, (situation proche d’un véhicule à pneus lisses sur
un sol gelé) la réaction de contact entre le véhicule et le sol est normale au sol, donc que
− →
R L =
− →
0 ; l’accélération est alors nulle, et le mouvement ne peut pas être courbe.
Le point M étant soumis à son poids m − → g , à
− →
R L et à la composante verticale
− →
R z de la
réaction du sol, on a :
m −
→ g 1
− →
R z 1
− →
R L = m − → a
ce qui donne
R z = mg
en projection sur l’axe vertical en plus de la relation donnant
− →
R L .
1. MÉCANIQUE
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3 1. La figure ci-dessous présente le bilan des forces et définit les vecteurs de la base
de Frenet. Dans cette base, l’accélération a pour expression :
− → a =
V
2
L
− → n 1
dV
dt
− → t
où la vitesse du point M est
− →
V = V − → t . Le rayon de courbure de la trajectoire est constant
et égal à celui du cercle L, − → n et − → t désignent respectivement les vecteurs unitaires normal
et tangent à la trajectoire au point M. Le mouvement étant de plus uniforme, la valeur
de la vitesse est constante (mais évidemment pas le vecteur vitesse) de sorte que pour un
tel mouvement, l’accélération est purement normale :
− → a =
V
2
L
− → n
Notons alors que − → a →
− →
0 , si V = 0, ce qui correspond à l’immobilité, ou si L → ∞, ce
qui correspond à un mouvement uniforme sur un objet géométrique de rayon de courbure
infini, à savoir une droite ; on retrouve évidemment le principe de l’inertie.
vue de dessus
vue dans le plan vertical
contenant O et M
O
M
M
L
z
mg
n
τ
R L
R L
R z
La relation fondamentale de la dynamique appliquée au point M dans le référentiel
galiléen lié à la terre, et exprimée dans la base de Frenet montre la nécessité d’une force
normale à la trajectoire, de valeur constante, qui se trouve être ici la composante latérale
de la réaction du support
− →
R L = m
V
2
L
− → n
(il importe de bien distinguer la normale à la trajectoire et la normale au sol). On note
qu’en l’absence totale de frottements, (situation proche d’un véhicule à pneus lisses sur
un sol gelé) la réaction de contact entre le véhicule et le sol est normale au sol, donc que
− →
R L =
− →
0 ; l’accélération est alors nulle, et le mouvement ne peut pas être courbe.
Le point M étant soumis à son poids m − → g , à
− →
R L et à la composante verticale
− →
R z de la
réaction du sol, on a :
m −
→ g 1
− →
R z 1
− →
R L = m − → a
ce qui donne
R z = mg
en projection sur l’axe vertical en plus de la relation donnant
− →
R L .
1. MÉCANIQUE
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