i
i
i
i
i
i
i
i
soit
dv
dt
= g
b
R 2 1 b 2
L’accélération angulaire autour de Oz est constante, donc ¨ z aussi. Les conditions initiales
conduisent à :
z = −bu = −
1
2
g
b
2
R 2 1 b 2
t
2
Le comportement de z montre que tout se passe comme si on avait une accélération
azimutale égale à g pondéré par un facteur géométrique
1
1 1
R
b
2 qui n’est fonction
que du rapport entre le rayon de l’hélice et le pas (divisé par 2p), à savoir une fonction
lorentzienne en
R
b
.
Il est clair que ce facteur étant toujours inférieur à 1, l’accélération azimutale a toujours
une valeur inférieure à g. On retrouve la chute libre de direction verticale pour
R
b
→ 0
(hélice de rayon négligeable devant le pas), et le cercle horizontal pour lequel l’accélération
azimutale vaut 0 pour
R
b
→ ∞ (hélice de pas négligeable devant le rayon).
4. On peut alors exprimer les composantes des forces de liaison en fonction du temps :

      
      
F r = −mR
gb
R 2 1 b 2
2
t
2
F u = mg
Rb
R 2 1 b 2
F z = mg
R
2
R 2 1 b 2
La composante radiale est centripète, proportionnelle à v
2 , donc ici à t
2 ; les composantes
orthoradiale et azimutale sont constantes.
5. L’énergie mécanique E du point matériel en mouvement sur l’hélice se conserve,
car le poids dérive d’un potentiel et les liaisons de contact
− →
F ne travaillent pas ; on a
E =
1
2
mV
2 1 mgz. Sa dérivation par rapport au temps donne :
dE
dt
= mV
dV
dt
1 mg
dz
dt
= 0
L’expression de la vitesse en coordonnées cylindriques est V =
R 2 1 b 2
v 2 . Comme
˙
z = −bv, il vient alors v
R 2 1 b 2
3 ˙
v
R 2 1 b 2
= gbv (en supposant v > 0).
Cela implique ˙
v = g
b
R 2 1 b 2
, qui est l’expression trouvée par la méthode dynamique.
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