solutions des exercices
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montrer que t est donné par l’intersection de la tangente à l’origine dans le cas où V 0 = 0
avec la droite horizontale correspondant à la vitesse limite (c’est faux pour les autres cas).
4. La relation fondamentale de la dynamique s’écrit m − → g 1
− →
R T 1
− →
R N − k
− →
V = m − → a . En
la projetant sur les axes, on obtient, supposant la condition tan a > f vérifiée et ˙
x > 0 :
R N = mg cos a et donc m¨ x = mg sin a − fmg cos a − k˙ x, soit
¨ x 1
1
t
˙
x = g
sin a − f cos a
La vitesse limite V
l = gt
sin a − f cos a
est inférieure à celle calculée au § 3.b, du fait
des frottements solides supplémentaires.
2 1. Le point M est repéré en coordonnées cylindriques par
− − →
OM = r − → u r 1 z − → u z
L’hélice décrite est une courbe d’équations
r = R
z = −bu
. Le point M descend si v = ˙
u > 0
La vitesse sur cette courbe a pour expression, en coordonnées cylindriques :
− →
V = ˙
r − → u r 1 r ˙
u − → u u 1 ˙
z − → u z = Rv − → u u − bv − → u z
Comme la dérivée d’un vecteur unitaire ( − → u u ) par rapport à son angle polaire u est un
vecteur unitaire qui lui est directement perpendiculaire, (− − → u r ) on en tire directement
l’accélération :
− → a = −Rv
2− → u r 1 R ˙
v − → u u − b ˙
v − → u z
2. La relation fondamentale de la dynamique appliquée au point matériel s’écrit
m − → g 1
− →
F = m − → a , ce qui donne les expression suivantes des composantes radiale,
orthoradiale et azimutale de
− →
F :
F r = −mRv
2
F u = mR ˙
v
F z − mg = −mb ˙
v
Ce système ne peut évidemment pas être intégré directement, puisqu’a priori les trois
composantes des forces peuvent être des fonctions du temps.
C’est l’absence de frottements qui permet d’obtenir une relation supplémentaire. La force
de liaison
− →
F ne travaille pas si sa puissance est nulle, ce qui se traduit par
− →
F .
− →
V = 0, ∀t,
c’est-à-dire : − →
F .
− →
V =
F r
− → u r 1 F u
− → u u 1 F z
− → u z
Rv − → u u − bv − → u z
= 0
ce qui impose donc :
RF u = bF z
3. Compte tenu de l’expression des composantes de
− →
F tirées de la relation fondamentale
de la dynamique et de l’absence de frottement, on a :
mR
2 dv
dt
= b
mg − mb
dv
dt
1. MÉCANIQUE
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montrer que t est donné par l’intersection de la tangente à l’origine dans le cas où V 0 = 0
avec la droite horizontale correspondant à la vitesse limite (c’est faux pour les autres cas).
4. La relation fondamentale de la dynamique s’écrit m − → g 1
− →
R T 1
− →
R N − k
− →
V = m − → a . En
la projetant sur les axes, on obtient, supposant la condition tan a > f vérifiée et ˙
x > 0 :
R N = mg cos a et donc m¨ x = mg sin a − fmg cos a − k˙ x, soit
¨ x 1
1
t
˙
x = g
sin a − f cos a
La vitesse limite V
l = gt
sin a − f cos a
est inférieure à celle calculée au § 3.b, du fait
des frottements solides supplémentaires.
2 1. Le point M est repéré en coordonnées cylindriques par
− − →
OM = r − → u r 1 z − → u z
L’hélice décrite est une courbe d’équations
r = R
z = −bu
. Le point M descend si v = ˙
u > 0
La vitesse sur cette courbe a pour expression, en coordonnées cylindriques :
− →
V = ˙
r − → u r 1 r ˙
u − → u u 1 ˙
z − → u z = Rv − → u u − bv − → u z
Comme la dérivée d’un vecteur unitaire ( − → u u ) par rapport à son angle polaire u est un
vecteur unitaire qui lui est directement perpendiculaire, (− − → u r ) on en tire directement
l’accélération :
− → a = −Rv
2− → u r 1 R ˙
v − → u u − b ˙
v − → u z
2. La relation fondamentale de la dynamique appliquée au point matériel s’écrit
m − → g 1
− →
F = m − → a , ce qui donne les expression suivantes des composantes radiale,
orthoradiale et azimutale de
− →
F :
F r = −mRv
2
F u = mR ˙
v
F z − mg = −mb ˙
v
Ce système ne peut évidemment pas être intégré directement, puisqu’a priori les trois
composantes des forces peuvent être des fonctions du temps.
C’est l’absence de frottements qui permet d’obtenir une relation supplémentaire. La force
de liaison
− →
F ne travaille pas si sa puissance est nulle, ce qui se traduit par
− →
F .
− →
V = 0, ∀t,
c’est-à-dire : − →
F .
− →
V =
F r
− → u r 1 F u
− → u u 1 F z
− → u z
Rv − → u u − bv − → u z
= 0
ce qui impose donc :
RF u = bF z
3. Compte tenu de l’expression des composantes de
− →
F tirées de la relation fondamentale
de la dynamique et de l’absence de frottement, on a :
mR
2 dv
dt
= b
mg − mb
dv
dt
1. MÉCANIQUE
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