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Pour t > t S deux cas sont à considérer :
– tan a < f : le wagon reste immobile en S ;
– tan a > f : le wagon repart en sens inverse : Il redescend la pente avec une accélération
¨ x = g
sin a − f cos a
.
3.a. k est homogène à [M] [T ]
−1 . La relation fondamentale de la dynamique s’écrit
m − → g 1
− →
R − k
− →
V = m − → a , où
− →
R est perpendiculaire au plan incliné, ce qui donne,
en projection sur les axes Ox et Oy : R = mg cos a et m¨ x = mg sin a − k˙ x. Une
constante de temps t =
m
k
apparaît naturellement dans l’équation différentielle (linéaire)
du mouvement :
¨ x 1
1
t
˙
x = g sin a
En posant V = ˙
x, on cherche à résoudre l’équation du premier ordre relative à la vitesse :
˙
V 1
1
t
V = g sin a
Le wagon atteint une vitesse limite V l lorsque ˙
V = 0, c’est-à-dire V l = gt sin a ; c’est
une solution particulière de l’équation avec second membre.
3.b. L’équation sans second membre ˙
V 1
1
t
V = 0 a pour solution générale V = Ce
− t
t .
La solution de l’équation différentielle du mouvement relative à la vitesse s’écrit comme
la somme de la solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution
particulière de l’équation avec second membre.
Compte tenu des conditions initiales V = 0 et x = 0 à t = 0, on a :
V = V l
1 − e
− t
t
, d’où on tire x = V l
t 1 t
e
− t
t − 1
Lorsque t t, V ∼ gt sin a : La vitesse a un comportement asymptotique linéaire en
temps, où l’accélération est celle du mouvement sur un plan incliné, sans frottements. En
effet, on se trouve dans des conditions dans lesquelles la vitesse est si faible que la force
de frottement fluide est négligeable devant la pesanteur.
Lorsque t t, V ∼ gt sin a : Le mouvement est rectiligne et uniforme de vitesse
V l : Lorsque la vitesse limite est atteinte, la force de frottement fluide et la pesanteur se
compensent.
O
t
V
V l
3.c. Compte tenu de la condition initiale
V = V 0 à t = 0, on a :
V =
V 0 − gt sin a
e
− t
t 1 gt sin a
La figure ci-contre montre l’évolution de la
vitesse en fonction du temps pour V 0 = 0
(trait foncé), V 0 =
3
2
V l (trait plein fin) et
V 0 = −
1
2
V l (trait pointillé) ; il est facile de
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Pour t > t S deux cas sont à considérer :
– tan a < f : le wagon reste immobile en S ;
– tan a > f : le wagon repart en sens inverse : Il redescend la pente avec une accélération
¨ x = g
sin a − f cos a
.
3.a. k est homogène à [M] [T ]
−1 . La relation fondamentale de la dynamique s’écrit
m − → g 1
− →
R − k
− →
V = m − → a , où
− →
R est perpendiculaire au plan incliné, ce qui donne,
en projection sur les axes Ox et Oy : R = mg cos a et m¨ x = mg sin a − k˙ x. Une
constante de temps t =
m
k
apparaît naturellement dans l’équation différentielle (linéaire)
du mouvement :
¨ x 1
1
t
˙
x = g sin a
En posant V = ˙
x, on cherche à résoudre l’équation du premier ordre relative à la vitesse :
˙
V 1
1
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V = g sin a
Le wagon atteint une vitesse limite V l lorsque ˙
V = 0, c’est-à-dire V l = gt sin a ; c’est
une solution particulière de l’équation avec second membre.
3.b. L’équation sans second membre ˙
V 1
1
t
V = 0 a pour solution générale V = Ce
− t
t .
La solution de l’équation différentielle du mouvement relative à la vitesse s’écrit comme
la somme de la solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution
particulière de l’équation avec second membre.
Compte tenu des conditions initiales V = 0 et x = 0 à t = 0, on a :
V = V l
1 − e
− t
t
, d’où on tire x = V l
t 1 t
e
− t
t − 1
Lorsque t t, V ∼ gt sin a : La vitesse a un comportement asymptotique linéaire en
temps, où l’accélération est celle du mouvement sur un plan incliné, sans frottements. En
effet, on se trouve dans des conditions dans lesquelles la vitesse est si faible que la force
de frottement fluide est négligeable devant la pesanteur.
Lorsque t t, V ∼ gt sin a : Le mouvement est rectiligne et uniforme de vitesse
V l : Lorsque la vitesse limite est atteinte, la force de frottement fluide et la pesanteur se
compensent.
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V l
3.c. Compte tenu de la condition initiale
V = V 0 à t = 0, on a :
V =
V 0 − gt sin a
e
− t
t 1 gt sin a
La figure ci-contre montre l’évolution de la
vitesse en fonction du temps pour V 0 = 0
(trait foncé), V 0 =
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V l (trait plein fin) et
V 0 = −
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V l (trait pointillé) ; il est facile de
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