solutions des exercices
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i
− →
V =
− →
0 . En projetant
− →
R sur les axes, on a alors R N = mg cos a et R T = mg sin a, où
R T et R N sont comptés arithmétiquement.
La relation fondamentale de la dynamique m − → g 1
− →
R T 1
− →
R N = m − → a conduit en projection
à :
R N = mg cos a et ¨ x = g sin a −
R T
m
O
M
x
y
mg
R N
R T
le wagon est supposé descendre la pente
Il est facile de voir que le wagon glissera
à condition que mg sin a > R T , en tenant
compte de la contrainte due au glissement,
R T = fR N = fmg cos a. Le wagon se met
donc à glisser dès que mg sin a > fmg cos a,
c’est-à-dire dès que tan a > f .
La condition de glissement tan a > f étant
réalisée, on a ¨ x = g
sin a − f cos a
, qui est strictement positif.
b. Si M est lâché de O sans vitesse initiale, on a x =
1
2
g
sin a − f cos a
t
2 ; son
mouvement est rectiligne uniformément accéléré.
c. Le wagon est lancé vers le haut de la pente avec une vitesse de valeur V A et parallèle à
Ox depuis un point A distant de O de L ; pendant la phase où il remonte la pente, ˙
x < 0
et la projection du principe fondamental sur l’axe Ox s’écrit :
m¨ x = mg sin a 1 R T
avec R T = fR N = fmg cos a tant que sa vitesse ne s’annule pas. L’accélération vaut donc
¨ x = g
sin a 1 f cos a
; cette relation s’intègre en :
x =
1
2
g
sin a 1 f cos a
t
2
− V A t 1 L
Le wagon s’arrête lorsque ˙
x = 0, à t S =
V A
g
sin a 1 f cos a
, en un point S d’abscisse
x S = L −
V
2
A
2g
sin a 1 f cos a
.
Ce dernier résultat se retrouve plus commodément en appliquant le théorème de l’énergie
cinétique au point M entre A et S :
0 −
1
2
mV
2
A = W A→S (m − → g ) 1 W A→S (
− →
R T ) = −
− →
AS
mg sin a −
− →
AS
.R T
avec
− →
AS
= L − x S , d’où on tire
1
2
mV
2
A = (L − x S )(mg sin a 1 fmg cos a)
Ce qui redonne bien la valeur de x S obtenue à partir de l’équation du mouvement.
Le produit scalaire − → a .
− →
V = g
sin a 1 f cos a
sin a 1 f cos a
t − V A
étant négatif
pour t < t S , le mouvement est décéléré.
1. MÉCANIQUE
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− →
V =
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0 . En projetant
− →
R sur les axes, on a alors R N = mg cos a et R T = mg sin a, où
R T et R N sont comptés arithmétiquement.
La relation fondamentale de la dynamique m − → g 1
− →
R T 1
− →
R N = m − → a conduit en projection
à :
R N = mg cos a et ¨ x = g sin a −
R T
m
O
M
x
y
mg
R N
R T
le wagon est supposé descendre la pente
Il est facile de voir que le wagon glissera
à condition que mg sin a > R T , en tenant
compte de la contrainte due au glissement,
R T = fR N = fmg cos a. Le wagon se met
donc à glisser dès que mg sin a > fmg cos a,
c’est-à-dire dès que tan a > f .
La condition de glissement tan a > f étant
réalisée, on a ¨ x = g
sin a − f cos a
, qui est strictement positif.
b. Si M est lâché de O sans vitesse initiale, on a x =
1
2
g
sin a − f cos a
t
2 ; son
mouvement est rectiligne uniformément accéléré.
c. Le wagon est lancé vers le haut de la pente avec une vitesse de valeur V A et parallèle à
Ox depuis un point A distant de O de L ; pendant la phase où il remonte la pente, ˙
x < 0
et la projection du principe fondamental sur l’axe Ox s’écrit :
m¨ x = mg sin a 1 R T
avec R T = fR N = fmg cos a tant que sa vitesse ne s’annule pas. L’accélération vaut donc
¨ x = g
sin a 1 f cos a
; cette relation s’intègre en :
x =
1
2
g
sin a 1 f cos a
t
2
− V A t 1 L
Le wagon s’arrête lorsque ˙
x = 0, à t S =
V A
g
sin a 1 f cos a
, en un point S d’abscisse
x S = L −
V
2
A
2g
sin a 1 f cos a
.
Ce dernier résultat se retrouve plus commodément en appliquant le théorème de l’énergie
cinétique au point M entre A et S :
0 −
1
2
mV
2
A = W A→S (m − → g ) 1 W A→S (
− →
R T ) = −
− →
AS
mg sin a −
− →
AS
.R T
avec
− →
AS
= L − x S , d’où on tire
1
2
mV
2
A = (L − x S )(mg sin a 1 fmg cos a)
Ce qui redonne bien la valeur de x S obtenue à partir de l’équation du mouvement.
Le produit scalaire − → a .
− →
V = g
sin a 1 f cos a
sin a 1 f cos a
t − V A
étant négatif
pour t < t S , le mouvement est décéléré.
1. MÉCANIQUE
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