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SOLUTIONS
O
M
x
y
mg
R
1 1. Absence de tout frottement : le système étudié est le wagon, et le référentiel
dans lequel on étudie son mouvement est
galiléen. Le théorème du centre de masse
nous apprend que le mouvement de son
centre d’inertie noté M est le même que
celui d’un point matériel qui serait doté de sa masse totale et soumis aux mêmes forces
extérieures. On étudie donc le mouvement de ce point.
Les deux seules forces qu’il subit sont :
– Force à distance : poids m − → g
– Force de contact : réaction du support
− →
R
Le bilan des forces est présenté sur la figure ci-dessus. Puisqu’il n’y a aucun frottement
de contact,
− →
R ne travaille jamais, donc sa puissance
− →
R .
− →
V est nulle à tout instant ; la
direction de
− →
R est donc normale au plan incliné, puisque
− →
V est parallèle à Ox. La relation
fondamentale de la dynamique s’écrit :
m − → g 1
− →
R = m − → a
où − → a est l’accélération de M, ce qui donne en projection sur les axes Ox et Oy :
R = mg cos a et ¨ x = g sin a. Le mouvement du wagon est à accélération constante.
Compte tenu des conditions initiales, on a :
x =
1
2
g sin a
t
2
2.a. La réaction du support
− →
R travaille lorsque M se déplace ; elle a donc une composante
tangentielle
− →
R T , contenue dans le plan incliné et une composante normale
− →
R N . La figure
ci-dessous présente le bilan des forces, lorsque le wagon est supposé descendre la pente.
Il importe de bien comprendre que le frottement solide est un phénomène à effet de seuil
(donc non linéaire). Les lois de Coulomb du frottement solide de glissement imposent
que :
∗
− →
R T
f
− →
R N
∗ Si le solide glisse avec une vitesse de glissement
− →
V , alors
− →
R T
= f
− →
R N
et
− →
R T et
− →
V
sont colinéaires avec
− →
R T .
− →
V < 0. Cette dernière relation exprime que le travail dû à des
forces de frottements est résistant.
Tant que l’angle a est inférieur à une certaine valeur limite, le wagon est immobile ; en
dessous du seuil de glissement, la force de frottement solide « s’ajuste » de manière à ce
que m − → g 1
− →
R T 1
− →
R N =
− →
0 , pourvu que la contrainte
− →
R T
< f
− →
R N
soit satisfaite avec
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O
M
x
y
mg
R
1 1. Absence de tout frottement : le système étudié est le wagon, et le référentiel
dans lequel on étudie son mouvement est
galiléen. Le théorème du centre de masse
nous apprend que le mouvement de son
centre d’inertie noté M est le même que
celui d’un point matériel qui serait doté de sa masse totale et soumis aux mêmes forces
extérieures. On étudie donc le mouvement de ce point.
Les deux seules forces qu’il subit sont :
– Force à distance : poids m − → g
– Force de contact : réaction du support
− →
R
Le bilan des forces est présenté sur la figure ci-dessus. Puisqu’il n’y a aucun frottement
de contact,
− →
R ne travaille jamais, donc sa puissance
− →
R .
− →
V est nulle à tout instant ; la
direction de
− →
R est donc normale au plan incliné, puisque
− →
V est parallèle à Ox. La relation
fondamentale de la dynamique s’écrit :
m − → g 1
− →
R = m − → a
où − → a est l’accélération de M, ce qui donne en projection sur les axes Ox et Oy :
R = mg cos a et ¨ x = g sin a. Le mouvement du wagon est à accélération constante.
Compte tenu des conditions initiales, on a :
x =
1
2
g sin a
t
2
2.a. La réaction du support
− →
R travaille lorsque M se déplace ; elle a donc une composante
tangentielle
− →
R T , contenue dans le plan incliné et une composante normale
− →
R N . La figure
ci-dessous présente le bilan des forces, lorsque le wagon est supposé descendre la pente.
Il importe de bien comprendre que le frottement solide est un phénomène à effet de seuil
(donc non linéaire). Les lois de Coulomb du frottement solide de glissement imposent
que :
∗
− →
R T
f
− →
R N
∗ Si le solide glisse avec une vitesse de glissement
− →
V , alors
− →
R T
= f
− →
R N
et
− →
R T et
− →
V
sont colinéaires avec
− →
R T .
− →
V < 0. Cette dernière relation exprime que le travail dû à des
forces de frottements est résistant.
Tant que l’angle a est inférieur à une certaine valeur limite, le wagon est immobile ; en
dessous du seuil de glissement, la force de frottement solide « s’ajuste » de manière à ce
que m − → g 1
− →
R T 1
− →
R N =
− →
0 , pourvu que la contrainte
− →
R T
< f
− →
R N
soit satisfaite avec
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