i
i
i
i
i
i
i
i
moyenne des molécules v q =
v
2 f (v) dv
1
2
. En effet, E c =
3
2
kT =
1
2
mv
2
q
d’où v q =
3kT
m
. En multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par
N A on obtient une autre expression utile de la vitesse quadratique v q =
3RT
M
, où M
désigne cette fois-ci la masse molaire du gaz .
• Énergie interne du gaz. Capacités calorifiques
L’énergie E c =
3
2
kT est une énergie cinétique moyenne de translation. Si l’on suppose
que cette énergie est également répartie dans toute les directions (équipartition de l’énergie), alors l’énergie cinétique moyenne associée à chaque degré de liberté de translation
est
1
2
kT .
Cas d’un gaz monoatomique : Dans le cas d’un gaz parfait monoatomique, l’énergie
interne U se résume à l’énergie cinétique de translation suivant les trois directions x, y, z
donc :
U (T ) =
3
2
kT
et donc comme on l’a vu U (T ) 1 mole =
3
2
RT . Comme l’on sait que pour une mole
on doit avoir dU = c V dT , on en déduit la valeur de la capacité calorifique à volume
constant :
c V =
3
2
R
D’après la relation de Mayer, on a c P =
5
2
R, et g = c P /c V = 5/3 = 1,666...
Cas d’un gaz diatomique : Dans le cas de molécules diatomiques, il faut prendre en
compte dans l’énergie interne les termes dus à la rotation propre de la molécule. Il n’y a
pas de rotation selon l’axe de la molécule, il faut donc seulement ajouter deux degrés de
liberté supplémentaires. En admettant que ces degrés de liberté « comptent » également
pour
1
2
kT , on obtient au total U =
5
2
kT . Par conséquent, pour un gaz diatomique
c V =
5
2
R c P =
7
2
R, et, g = 7/5 = 1,4...
10.3. Loi de distribution de Maxwell
• Distribution des vitesses
À l’aide des hypothèses (physiquement raisonnables) du 10.2 et de quelques arguments
mathématiques, on montre que les différentes densités de probabilité s’écrivent :
f (v x) =
m
2pkT
e
−
mv
2
x
2kT
8. THERMODYNAMIQUE
667
i
i
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moyenne des molécules v q =
v
2 f (v) dv
1
2
. En effet, E c =
3
2
kT =
1
2
mv
2
q
d’où v q =
3kT
m
. En multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par
N A on obtient une autre expression utile de la vitesse quadratique v q =
3RT
M
, où M
désigne cette fois-ci la masse molaire du gaz .
• Énergie interne du gaz. Capacités calorifiques
L’énergie E c =
3
2
kT est une énergie cinétique moyenne de translation. Si l’on suppose
que cette énergie est également répartie dans toute les directions (équipartition de l’énergie), alors l’énergie cinétique moyenne associée à chaque degré de liberté de translation
est
1
2
kT .
Cas d’un gaz monoatomique : Dans le cas d’un gaz parfait monoatomique, l’énergie
interne U se résume à l’énergie cinétique de translation suivant les trois directions x, y, z
donc :
U (T ) =
3
2
kT
et donc comme on l’a vu U (T ) 1 mole =
3
2
RT . Comme l’on sait que pour une mole
on doit avoir dU = c V dT , on en déduit la valeur de la capacité calorifique à volume
constant :
c V =
3
2
R
D’après la relation de Mayer, on a c P =
5
2
R, et g = c P /c V = 5/3 = 1,666...
Cas d’un gaz diatomique : Dans le cas de molécules diatomiques, il faut prendre en
compte dans l’énergie interne les termes dus à la rotation propre de la molécule. Il n’y a
pas de rotation selon l’axe de la molécule, il faut donc seulement ajouter deux degrés de
liberté supplémentaires. En admettant que ces degrés de liberté « comptent » également
pour
1
2
kT , on obtient au total U =
5
2
kT . Par conséquent, pour un gaz diatomique
c V =
5
2
R c P =
7
2
R, et, g = 7/5 = 1,4...
10.3. Loi de distribution de Maxwell
• Distribution des vitesses
À l’aide des hypothèses (physiquement raisonnables) du 10.2 et de quelques arguments
mathématiques, on montre que les différentes densités de probabilité s’écrivent :
f (v x) =
m
2pkT
e
−
mv
2
x
2kT
8. THERMODYNAMIQUE
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