i
i
i
i
i
i
i
i
Or,
1∞
−∞
v
2
x f (v x ) dv x =
v
2
x
=
1
3
v
2
. Donc,
− →
F
=
1
3
nmdS
v
2
, d’après la
remarque 2.
On a donc la pression totale P =
− →
F
dS
=
1
3
nm
v
2
. Vu la définition de la vitesse
quadratique v q , on a donc :
P =
1
3
nmv
2
q
• Énergie cinétique moyenne d’une molécule
Par définition, l’énergie cinétique moyenne de translation d’une molécule est
1
2
m
v
2
= E c .
Il vient donc P = 2/3nE c . Notons ici que, dans le cas d’un gaz parfait monoatomique,
l’énergie cinétique de translation est identifiable à l’énergie cinétique totale ; dans le cas
d’un gaz parfait diatomique, il faut tenir compte des rotations de la molécule dans l’énergie
cinétique totale.
Par ailleurs, si on admet la relation PV = nRT , où n est le nombre de moles de gaz, on a
alors PV =
N
N A
RT avec N nombre total de molécules dans V et N A nombre d’Avogadro.
Donc P =
N
V
R
N A
T . Par définition de la constante de Boltzmann, on a :
k =
R
N A
=
8,31
6,02 · 10 23 = 1,38 · 10
−23 SI
donc :
P = nkT
où n est le nombre de molécules par unité de volume du gaz. Cette relation est à mémoriser.
En égalant les deux expressions de P qui viennent d’être trouvées on a
2
3
n E c = nkT ,
Soit donc E c =
3
2
kT . Cette expression est relative à l’énergie cinétique moyenne
d’une seule molécule en translation. Si l’on souhaite obtenir l’énergie cinétique
moyenne d’une mole de molécule il faut multiplier cette expression par N A et on a
E c 1 mole =
3
2
kN A T ⇒
E c 1 mole =
3
2
RT
(Résultat à retenir.)
Remarque importante : Cette expression de l’énergie cinétique moyenne de translation permet de trouver très simplement la valeur de la vitesse quadratique
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