i
i
i
i
i
i
i
i
où m est la masse de la molécule, D − → v la variation de son vecteur vitesse et Dt un temps
court durant lequel se produit le choc.
D’après le principe de l’action et de la réaction on a
− →
F molécule→paroi = −
− →
F paroi→molécule
donc si l’on note simplement
− →
F
=
− →
F molécule→paroi
, on a alors :
Dt
− →
F
=
D
m − → v
Avant le choc : − → v i = v x
− → u x 1 − → u t et après le choc : − → v f = v
x
− → u x 1 − → u
t .
Lors du choc la composante tangentielle est conservée : il n’y a pas de force tendant
à faire glisser la paroi dans son plan. On peut le comprendre aussi en considérant par
exemple une molécule telle que v x = 0, il n’y alors pas de choc et son vecteur vitesse
(tangentiel) doit être conservé. Le choc est élastique, il doit donc y avoir conservation
de l’énergie cinétique de la molécule pendant le choc : v
2
x 1 − → u t
2 = v
2
x 1 − → u
t
2 , or
− → u t
2 = − → u
t
2 , donc v
2
x = v
2
x ce qui implique v x = ±v
x . Seule la solution v x = −v
x
est possible après un choc.
Finalement on a :
D − → v = − → v f − − → v i =
v
x − v x
− → u x = −2v x
− → u x
Donc D − → v = 2v x , puisque l’on considère forcément une molécule telle que v x 0, de
façon à avoir effectivement un choc.
D’où :
Dt
− →
F
=
D
m − → v
= 2mv x ⇒
− →
F
=
2mv x
Dt
– Nombre de chocs pendant Dt sur dS : on compte les particules ayant pour composante
normale v x et qui heurtent la paroi pendant le temps Dt. Elles sont « éloignées au plus »
de la distance (v x Dt) de la paroi, donc contenues dans le volume (dSv x Dt) (on fait ici
l’hypothèse simplificatrice que toutes les molécules se déplacent suivant Ox). Si n est
le nombre de molécules par unité de volume, le nombre de molécules cherché est donc
ndSv x Dt. Et le nombre de chocs est (ndSv x Dt).
La force totale engendrée par les molécules de vitesse v x est :
− →
F
=
2mv x
Dt
nv x dSDt = 2nmv
2
x dS
– Moyenne de la force sur toutes les valeurs possibles de v x : L’expression précédente
de la force a été trouvée pour un v x donné, il faut donc la moyenner sur toutes les valeurs
que peut prendre v x :
− →
F
=
1∞
0
2nmv
2
x dS
f (v x ) dv x
où f (v x ) est la densité de probabilité de v x (l’intégrale ne porte que sur les vitesses v x
positives, correspondant aux molécules se dirigeant vers la paroi).
Donc
− →
F
= 2nmdS
1∞
0
v
2
x
f (v x ) dv x = 2nmdS 3
1
2
1∞
−∞
v
2
x f (v x ) dv x ,
d’après la remarque préliminaire 1.
8. THERMODYNAMIQUE
665
i
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où m est la masse de la molécule, D − → v la variation de son vecteur vitesse et Dt un temps
court durant lequel se produit le choc.
D’après le principe de l’action et de la réaction on a
− →
F molécule→paroi = −
− →
F paroi→molécule
donc si l’on note simplement
− →
F
=
− →
F molécule→paroi
, on a alors :
Dt
− →
F
=
D
m − → v
Avant le choc : − → v i = v x
− → u x 1 − → u t et après le choc : − → v f = v
x
− → u x 1 − → u
t .
Lors du choc la composante tangentielle est conservée : il n’y a pas de force tendant
à faire glisser la paroi dans son plan. On peut le comprendre aussi en considérant par
exemple une molécule telle que v x = 0, il n’y alors pas de choc et son vecteur vitesse
(tangentiel) doit être conservé. Le choc est élastique, il doit donc y avoir conservation
de l’énergie cinétique de la molécule pendant le choc : v
2
x 1 − → u t
2 = v
2
x 1 − → u
t
2 , or
− → u t
2 = − → u
t
2 , donc v
2
x = v
2
x ce qui implique v x = ±v
x . Seule la solution v x = −v
x
est possible après un choc.
Finalement on a :
D − → v = − → v f − − → v i =
v
x − v x
− → u x = −2v x
− → u x
Donc D − → v = 2v x , puisque l’on considère forcément une molécule telle que v x 0, de
façon à avoir effectivement un choc.
D’où :
Dt
− →
F
=
D
m − → v
= 2mv x ⇒
− →
F
=
2mv x
Dt
– Nombre de chocs pendant Dt sur dS : on compte les particules ayant pour composante
normale v x et qui heurtent la paroi pendant le temps Dt. Elles sont « éloignées au plus »
de la distance (v x Dt) de la paroi, donc contenues dans le volume (dSv x Dt) (on fait ici
l’hypothèse simplificatrice que toutes les molécules se déplacent suivant Ox). Si n est
le nombre de molécules par unité de volume, le nombre de molécules cherché est donc
ndSv x Dt. Et le nombre de chocs est (ndSv x Dt).
La force totale engendrée par les molécules de vitesse v x est :
− →
F
=
2mv x
Dt
nv x dSDt = 2nmv
2
x dS
– Moyenne de la force sur toutes les valeurs possibles de v x : L’expression précédente
de la force a été trouvée pour un v x donné, il faut donc la moyenner sur toutes les valeurs
que peut prendre v x :
− →
F
=
1∞
0
2nmv
2
x dS
f (v x ) dv x
où f (v x ) est la densité de probabilité de v x (l’intégrale ne porte que sur les vitesses v x
positives, correspondant aux molécules se dirigeant vers la paroi).
Donc
− →
F
= 2nmdS
1∞
0
v
2
x
f (v x ) dv x = 2nmdS 3
1
2
1∞
−∞
v
2
x f (v x ) dv x ,
d’après la remarque préliminaire 1.
8. THERMODYNAMIQUE
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