i
i
i
i
i
i
i
i
collisions élastiques entre les molécules (conservation de l’énergie cinétique totale) et
des collisions entre une molécule et la paroi (conservation de l’énergie cinétique de la
molécule).
– Hypothèse « d’homogénéité de la densité moléculaire » : le nombre moyen n de molécules
par unité de volume est constant (n =
N
V
, où N est le nombre total de molécules dans
un volume V ).
– Hypothèse « d’homogénéité de la distribution des vitesses » : la probabilité P
v x , v y , v z
d’avoir un vecteur vitesse dont les composantes sont simultanément dans les intervalles
[v x , v x 1 dv x ],
v y , v y 1 dv y
, [v z , v z 1 dv z ] dépend uniquement du vecteur vitesse de
composantes v x , v y , v z , et non du point considéré dans le gaz parfait.
– Hypothèse « d’isotropie de la distribution des vitesses » : le mouvement des molécules
est aléatoire, ce qui signifie que leurs vecteurs vitesse sont orientés de façon aléatoire.
P(v x , v y , v z ) dépend du module de v x , v y , v z et non de son orientation.
Remarque : la dernière hypothèse n’implique rien en ce qui concerne le module du
vecteur vitesse des molécules. Au contraire, celui-ci n’est pas distribué de façon aléatoire.
10.2. Propriétés du gaz parfait : interprétation microscopique
de la pression et de la température
• Remarques préliminaires
1. Soit f (v x ) la densité de probabilité de la composante sur Ox du vecteur vitesse. Il
n’existe pas de direction privilégiée pour le vecteur vitesse, ce qui traduit le fait qu’il n’y a
pas de mouvement d’ensemble du gaz. On doit avoir :
v x = 0 =
1∞
−∞
v x f (v x )dv x et donc f (v x ) = f (−v x ) : la fonction f est paire.
Même raisonnement pour v y et v z .
2. Comme les trois directions Ox, Oy, Oz sont équivalentes et indépendantes on a :
v
2
x
=
v
2
y
=
v
2
z
donc
v
2
=
v
2
x 1 v
2
z 1 v
2
y
=
v
2
x
1
v
2
y
1
v
2
z
= 3
v
2
x
• Pression d’un gaz parfait
On considère une surface élémentaire dS sur une paroi, normale à l’axe Ox, limitant un
gaz parfait. On veut calculer la pression P engendrée sur cette paroi par les chocs des
molécules composant le gaz. On a P =
− →
F
dS
, où
− →
F est la force exercée sur la surface dS.
– Calcul de la force due au choc d’une seule molécule : lorsqu’une molécule frappe la
paroi, on a d’après le principe fondamental de la dynamique :
− →
F paroi→molécule = m − → a = m
D − → v
Dt
664
i
i
i
i
i
i
i
collisions élastiques entre les molécules (conservation de l’énergie cinétique totale) et
des collisions entre une molécule et la paroi (conservation de l’énergie cinétique de la
molécule).
– Hypothèse « d’homogénéité de la densité moléculaire » : le nombre moyen n de molécules
par unité de volume est constant (n =
N
V
, où N est le nombre total de molécules dans
un volume V ).
– Hypothèse « d’homogénéité de la distribution des vitesses » : la probabilité P
v x , v y , v z
d’avoir un vecteur vitesse dont les composantes sont simultanément dans les intervalles
[v x , v x 1 dv x ],
v y , v y 1 dv y
, [v z , v z 1 dv z ] dépend uniquement du vecteur vitesse de
composantes v x , v y , v z , et non du point considéré dans le gaz parfait.
– Hypothèse « d’isotropie de la distribution des vitesses » : le mouvement des molécules
est aléatoire, ce qui signifie que leurs vecteurs vitesse sont orientés de façon aléatoire.
P(v x , v y , v z ) dépend du module de v x , v y , v z et non de son orientation.
Remarque : la dernière hypothèse n’implique rien en ce qui concerne le module du
vecteur vitesse des molécules. Au contraire, celui-ci n’est pas distribué de façon aléatoire.
10.2. Propriétés du gaz parfait : interprétation microscopique
de la pression et de la température
• Remarques préliminaires
1. Soit f (v x ) la densité de probabilité de la composante sur Ox du vecteur vitesse. Il
n’existe pas de direction privilégiée pour le vecteur vitesse, ce qui traduit le fait qu’il n’y a
pas de mouvement d’ensemble du gaz. On doit avoir :
v x = 0 =
1∞
−∞
v x f (v x )dv x et donc f (v x ) = f (−v x ) : la fonction f est paire.
Même raisonnement pour v y et v z .
2. Comme les trois directions Ox, Oy, Oz sont équivalentes et indépendantes on a :
v
2
x
=
v
2
y
=
v
2
z
donc
v
2
=
v
2
x 1 v
2
z 1 v
2
y
=
v
2
x
1
v
2
y
1
v
2
z
= 3
v
2
x
• Pression d’un gaz parfait
On considère une surface élémentaire dS sur une paroi, normale à l’axe Ox, limitant un
gaz parfait. On veut calculer la pression P engendrée sur cette paroi par les chocs des
molécules composant le gaz. On a P =
− →
F
dS
, où
− →
F est la force exercée sur la surface dS.
– Calcul de la force due au choc d’une seule molécule : lorsqu’une molécule frappe la
paroi, on a d’après le principe fondamental de la dynamique :
− →
F paroi→molécule = m − → a = m
D − → v
Dt
664