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10.1. Les bases de la théorie
Un gaz parfait à l’équilibre est constitué d’atomes, ou de molécules, qui sont continuellement en mouvement. Il s’agit donc d’un « équilibre statistique ». Ce mouvement, qui
constitue « l’agitation thermique » est totalement aléatoire puisqu’il n’existe, par définition,
pas d’interaction entre les molécules d’un gaz parfait (et que leur poids est négligeable).
Donc, le mouvement des molécules est composé de chocs (entre elles et contre les parois
qui limitent le gaz) et de trajectoires rectilignes et uniformes entre ces chocs. La vitesse
des molécules dans ces portions rectilignes est distribuée selon une loi statistique, que la
« théorie cinétique des gaz parfait » permet d’expliciter.
• Notions de probabilités
Le but est donc d’étudier la répartition des vitesses des atomes contenus dans un volume V
de gaz. Par vitesse, on entend soit le module de la vitesse − → v , soit l’une des composantes
v x , v y , ou v z dans un repère orthonormé Oxyz. On note ici l’une quelconque de ces
grandeurs simplement par v. La seule distinction à effectuer est le domaine de variation
de v : [0, 1∞[ lorsqu’il s’agit du module, et ]−∞, 1∞[ pour une composante.
La probabilité p (v) d’avoir une vitesse comprise entre v et (v 1 dv) est proportionnelle à
la largeur de l’intervalle dv : p (v) = f (v)dv. f (v) est la fonction densité de probabilité.
Cette fonction doit vérifier
f (v)dv = 1, où l’intégration porte sur le domaine de
variation de v, différent suivant le cas envisagé (module ou composante). On peut aussi
exprimer p(v) de la façon suivante. Si dN est le nombre de molécules d’un volume V
ayant une vitesse comprise entre v et (v 1 dv), et N le nombre total de molécules, la
probabilité p (v) d’avoir une vitesse comprise entre v et (v 1 dv) est p (v) =
dN
N
.
La valeur la plus probable de la vitesse v p est telle que
df
dv
v p
= 0 (extremum).
La valeur moyenne de la vitesse est v m = v =
v f (v)dv.
La valeur moyenne du carré de la vitesse est
v
2
=
v
2 f (v)dv
On utilisera aussi v q , vitesse quadratique des molécules, définie par :
v q =
v 2 =
v 2 f (v)dv (où v désigne ici le module de la vitesse : v = − → v ).
• Les hypothèses de la théorie : modèle microscopique du gaz parfait
Les hypothèses sont soit relatives à la définition du gaz parfait (deux premières), soit
propres à la théorie cinétique des gaz parfaits.
– La taille des molécules est très faible devant le volume total du gaz, ce qui permet de les
considérer comme ponctuelles. De plus, on suppose que les lois de la mécanique classique
s’appliquent à l’échelle des molécules.
– Il n’existe aucune force d’interaction entre les molécules qui constituent le gaz, ce qui
implique que leur énergie est purement d’origine cinétique. Il existe simplement des
8. THERMODYNAMIQUE
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10.1. Les bases de la théorie
Un gaz parfait à l’équilibre est constitué d’atomes, ou de molécules, qui sont continuellement en mouvement. Il s’agit donc d’un « équilibre statistique ». Ce mouvement, qui
constitue « l’agitation thermique » est totalement aléatoire puisqu’il n’existe, par définition,
pas d’interaction entre les molécules d’un gaz parfait (et que leur poids est négligeable).
Donc, le mouvement des molécules est composé de chocs (entre elles et contre les parois
qui limitent le gaz) et de trajectoires rectilignes et uniformes entre ces chocs. La vitesse
des molécules dans ces portions rectilignes est distribuée selon une loi statistique, que la
« théorie cinétique des gaz parfait » permet d’expliciter.
• Notions de probabilités
Le but est donc d’étudier la répartition des vitesses des atomes contenus dans un volume V
de gaz. Par vitesse, on entend soit le module de la vitesse − → v , soit l’une des composantes
v x , v y , ou v z dans un repère orthonormé Oxyz. On note ici l’une quelconque de ces
grandeurs simplement par v. La seule distinction à effectuer est le domaine de variation
de v : [0, 1∞[ lorsqu’il s’agit du module, et ]−∞, 1∞[ pour une composante.
La probabilité p (v) d’avoir une vitesse comprise entre v et (v 1 dv) est proportionnelle à
la largeur de l’intervalle dv : p (v) = f (v)dv. f (v) est la fonction densité de probabilité.
Cette fonction doit vérifier
f (v)dv = 1, où l’intégration porte sur le domaine de
variation de v, différent suivant le cas envisagé (module ou composante). On peut aussi
exprimer p(v) de la façon suivante. Si dN est le nombre de molécules d’un volume V
ayant une vitesse comprise entre v et (v 1 dv), et N le nombre total de molécules, la
probabilité p (v) d’avoir une vitesse comprise entre v et (v 1 dv) est p (v) =
dN
N
.
La valeur la plus probable de la vitesse v p est telle que
df
dv
v p
= 0 (extremum).
La valeur moyenne de la vitesse est v m = v =
v f (v)dv.
La valeur moyenne du carré de la vitesse est
v
2
=
v
2 f (v)dv
On utilisera aussi v q , vitesse quadratique des molécules, définie par :
v q =
v 2 =
v 2 f (v)dv (où v désigne ici le module de la vitesse : v = − → v ).
• Les hypothèses de la théorie : modèle microscopique du gaz parfait
Les hypothèses sont soit relatives à la définition du gaz parfait (deux premières), soit
propres à la théorie cinétique des gaz parfaits.
– La taille des molécules est très faible devant le volume total du gaz, ce qui permet de les
considérer comme ponctuelles. De plus, on suppose que les lois de la mécanique classique
s’appliquent à l’échelle des molécules.
– Il n’existe aucune force d’interaction entre les molécules qui constituent le gaz, ce qui
implique que leur énergie est purement d’origine cinétique. Il existe simplement des
8. THERMODYNAMIQUE
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