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i
f (v x , v y , v z ) =
m
2pkT
3
2 e
− mv
2
2kT
f (v) = 4p
m
2pkT
3
2 v
2 e
− mv
2
2kT
où f (v x ) est la densité de probabilité d’une composante, f (v x , v y , v z ) est relative à la probabilité d’avoir simultanément les composantes de la vitesse dans les intervalles [v x ; v x 1dv x ],
[v y ; v y 1 dv y ], [v z ; v z 1 dv z ] et enfin f (v) est la densité de probabilité du module de la
vitesse.
f(v x )
f(v)
v x
v
0
– ∞
+∞
v p = 0
v p
+ ∞
La vitesse la plus probable, v p , correspondant au maximum de densité, est nulle dans le
cas de v x et est non nulle pour v. Par dérivation, on peut vérifier que : v p =
2kT
m
.
• Calcul de la vitesse moyenne et de la vitesse quadratique moyenne
À l’aide de la forme de f (v) ci-dessus et des valeurs de quelques intégrales classiques on
calcule la vitesse moyenne :
v m = v =
1∞
0
vf (v)dv =
8kT
pm
et la vitesse quadratique pour laquelle on vérifie que :
v q =
v
2
1
2 =
1∞
0
v
2 f (v)dv
1
2
=
3kT
m
On peut, par exemple, faire les applications numériques de ces différentes vitesses à différentes températures pour l’hélium (4 g · mol
−1 ). À T = 298 K, on a v m = 1 256 m · s
−1
et v q = 1 362 m · s
−1 . Il s’agit donc de vitesses très élevées.
• Vérification expérimentale de la loi de Maxwell
Voici une expérience qui permet de vérifier la forme annoncée pour la densité de probabilité f (v) du module de la vitesse. On veut « compter » le nombre de molécules ayant
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