solutions des exercices
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Les 3 transitions possibles entre les niveaux d’énergie ´ 2 et ´ 1 sont l’absorption, l’émission
spontanée et l’émission induite.
2.a. D’après la loi de Boltzmann, on a :
N 2
N 1
= e
−
´ 2 − ´ 1
kT .
b. On obtient :
´ 2 − ´ 1
kT
= 58, d’où
N 2
N 1
= 7,5 · 10
−26 .
c. On a a = m(N 1 − N 2 ). Usuellement N 1 > N 2 (cf 2.a) et a > 0, donc le coefficient de
proportionnalité m est positif. Dans un laser, on réalise une inversion de population, ce
qui entraîne N 1 < N 2 , donc dans ce cas a < 0, et l’intensité de l’onde I = I 0 e
−az croît
avec z ; il y a donc amplification de l’onde.
3. On a ´ 2 − ´ 1 = 3,14 · 10
−19 J, d’où n 0 =
´ 2 − ´ 1
h
= 4,73 · 10
14 Hz = 473 THz et
l 0 =
c
n 0
= 633 nm.
M
B
C
H
A
M’
i’
i
i
i
J p
i’
i
i
n
1
4.a. La différence de marche entre deux rayons
consécutifs est :
d = (AB) 1 (BC) − (AH) = 2nAB − AH
(les points A, B, C et H sont définis par
la figure). Par des arguments géométriques on
obtient : L = AB cos i ; AC = 2AB sin i et
AH = AB sin i
, d’où :
d = 2nAB − 2AB sin i sin i
= 2
L
cos i
(n − sin i sin i
)
La loi de Descartes entraîne : n sin i = sin i
, d’où : d = 2nL cos i. Le déphasage f entre
deux rayons consécutifs est donc :
f = 2p
n 0
c
d = 4p
nLn 0
c
cos i
b. Pour que deux ondes consécutives interfèrent constructivement, il faut que f soit un
multiple entier de 2p : f = 2pp (avec p entier). Les fréquences n 0 vérifiant cette relation
sont :
n 0 = p
c
2nL cos i
= n p
5. On a n = 1 et cos i = 1, donc les fréquences des modes propres deviennent : n p = p
c
2L
.
On en déduit : Dn L =
c
2L
, soit Dn L = 6,0 · 10
8 Hz ≈ 600 MHz pour L = 0,25 m.
7. OPTIQUE ONDULATOIRE
629
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Les 3 transitions possibles entre les niveaux d’énergie ´ 2 et ´ 1 sont l’absorption, l’émission
spontanée et l’émission induite.
2.a. D’après la loi de Boltzmann, on a :
N 2
N 1
= e
−
´ 2 − ´ 1
kT .
b. On obtient :
´ 2 − ´ 1
kT
= 58, d’où
N 2
N 1
= 7,5 · 10
−26 .
c. On a a = m(N 1 − N 2 ). Usuellement N 1 > N 2 (cf 2.a) et a > 0, donc le coefficient de
proportionnalité m est positif. Dans un laser, on réalise une inversion de population, ce
qui entraîne N 1 < N 2 , donc dans ce cas a < 0, et l’intensité de l’onde I = I 0 e
−az croît
avec z ; il y a donc amplification de l’onde.
3. On a ´ 2 − ´ 1 = 3,14 · 10
−19 J, d’où n 0 =
´ 2 − ´ 1
h
= 4,73 · 10
14 Hz = 473 THz et
l 0 =
c
n 0
= 633 nm.
M
B
C
H
A
M’
i’
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J p
i’
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n
1
4.a. La différence de marche entre deux rayons
consécutifs est :
d = (AB) 1 (BC) − (AH) = 2nAB − AH
(les points A, B, C et H sont définis par
la figure). Par des arguments géométriques on
obtient : L = AB cos i ; AC = 2AB sin i et
AH = AB sin i
, d’où :
d = 2nAB − 2AB sin i sin i
= 2
L
cos i
(n − sin i sin i
)
La loi de Descartes entraîne : n sin i = sin i
, d’où : d = 2nL cos i. Le déphasage f entre
deux rayons consécutifs est donc :
f = 2p
n 0
c
d = 4p
nLn 0
c
cos i
b. Pour que deux ondes consécutives interfèrent constructivement, il faut que f soit un
multiple entier de 2p : f = 2pp (avec p entier). Les fréquences n 0 vérifiant cette relation
sont :
n 0 = p
c
2nL cos i
= n p
5. On a n = 1 et cos i = 1, donc les fréquences des modes propres deviennent : n p = p
c
2L
.
On en déduit : Dn L =
c
2L
, soit Dn L = 6,0 · 10
8 Hz ≈ 600 MHz pour L = 0,25 m.
7. OPTIQUE ONDULATOIRE
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