solutions des exercices
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d’un tel miroir, ce qui permet d’éclairer le
réseau par un faisceau de rayons parallèles.
La même disposition est reprise pour focaliser le faisceau transmis sur la fente de sortie. Le schéma typique d’un spectromètre à
réseau est donné sur la figure ci-contre. Dans
les appareils commerciaux, le réseau n’est pas
éclairé à incidence normale. Si i 0 est l’angle
d’incidence du faisceau incident (cf. figures
ci-dessus : on prendra garde aux conventions de signes adoptées pour les angles i 0 et
i dans ces figures), la différence de marche
entre le rayon diffracté par la source fictive
x dans la direction i et celui diffracté en O
dans la même direction est alors (voir figure
ci-contre) :
d = H
O 1 OH = x(sin i 1 sin i 0 )
i
i 0
Fe
M e
M S
Fe
détecteur
faisceau
incident
x
M
O
H
H’
i
i 0
i
i 0
L’ordre p pour la longueur d’onde l s’observera alors dans la direction i telle que :
sin i 1 sin i 0 =
l
a
p
(attention ici aux conventions de signes de la figure ci-dessus : le rayon réfléchi correspond
ici à i = −i 0 ). Dans un spectromètre commercial, l’ajustement en longueur d’onde se fait
en tournant le réseau.
c. La limitation de la résolution est liée à la largeur angulaire des maxima principaux.
Si ceux-là étaient infiniment fins, on pourrait en principe avoir une résolution infinie (à
condition que les fentes soient très fermées). Ce serait le cas si N était infini (question 2).
De façon pratique, on n’a évidemment jamais N infini (bien que N soit très grand). La
largeur du maximum principal est alors limitée par la valeur finie de N , c’est-à-dire par la
largeur finie du réseau (N − 1)a ≈ Na. La largeur angulaire à mi-hauteur d’un maximum
principal est approximativement
l
Na
(c’est-à-dire la moitié de l’intervalle angulaire entre
les pieds du maximum principal). Si N est grand, la forme du maximum principal est très
proche de la figure de diffraction à l’infini d’une fente de largeur Na (l’interprétation de
cette constatation est simple : si on superpose un réseau infini et une fente diffractante de
largeur Na, on obtient un réseau de largeur Na, donc comportant N fentes).
La résolution ultime du spectromètre à réseau (fentes très fermées) est donc l’écart de
longueur d’onde dl correspondant à un écart angulaire di (relié à dl par a cos idi = pdl,
relation qu’on obtient en dérivant sin i 1 sin i 0 =
l
a
p) égal à la demi-largeur angulaire à
mi-hauteur d’un maximum principal (on utilise ici le critère de Rayleigh), soit di =
l
2Na
.
7. OPTIQUE ONDULATOIRE
627
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d’un tel miroir, ce qui permet d’éclairer le
réseau par un faisceau de rayons parallèles.
La même disposition est reprise pour focaliser le faisceau transmis sur la fente de sortie. Le schéma typique d’un spectromètre à
réseau est donné sur la figure ci-contre. Dans
les appareils commerciaux, le réseau n’est pas
éclairé à incidence normale. Si i 0 est l’angle
d’incidence du faisceau incident (cf. figures
ci-dessus : on prendra garde aux conventions de signes adoptées pour les angles i 0 et
i dans ces figures), la différence de marche
entre le rayon diffracté par la source fictive
x dans la direction i et celui diffracté en O
dans la même direction est alors (voir figure
ci-contre) :
d = H
O 1 OH = x(sin i 1 sin i 0 )
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i 0
Fe
M e
M S
Fe
détecteur
faisceau
incident
x
M
O
H
H’
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i 0
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L’ordre p pour la longueur d’onde l s’observera alors dans la direction i telle que :
sin i 1 sin i 0 =
l
a
p
(attention ici aux conventions de signes de la figure ci-dessus : le rayon réfléchi correspond
ici à i = −i 0 ). Dans un spectromètre commercial, l’ajustement en longueur d’onde se fait
en tournant le réseau.
c. La limitation de la résolution est liée à la largeur angulaire des maxima principaux.
Si ceux-là étaient infiniment fins, on pourrait en principe avoir une résolution infinie (à
condition que les fentes soient très fermées). Ce serait le cas si N était infini (question 2).
De façon pratique, on n’a évidemment jamais N infini (bien que N soit très grand). La
largeur du maximum principal est alors limitée par la valeur finie de N , c’est-à-dire par la
largeur finie du réseau (N − 1)a ≈ Na. La largeur angulaire à mi-hauteur d’un maximum
principal est approximativement
l
Na
(c’est-à-dire la moitié de l’intervalle angulaire entre
les pieds du maximum principal). Si N est grand, la forme du maximum principal est très
proche de la figure de diffraction à l’infini d’une fente de largeur Na (l’interprétation de
cette constatation est simple : si on superpose un réseau infini et une fente diffractante de
largeur Na, on obtient un réseau de largeur Na, donc comportant N fentes).
La résolution ultime du spectromètre à réseau (fentes très fermées) est donc l’écart de
longueur d’onde dl correspondant à un écart angulaire di (relié à dl par a cos idi = pdl,
relation qu’on obtient en dérivant sin i 1 sin i 0 =
l
a
p) égal à la demi-largeur angulaire à
mi-hauteur d’un maximum principal (on utilise ici le critère de Rayleigh), soit di =
l
2Na
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7. OPTIQUE ONDULATOIRE
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