i
i
i
i
i
i
i
i
3. L’amplitude de la lumière diffractée par la n-ième fente (centrée en (n − 1)a et de
largeur b, donc comprise entre les abscisses (n − 1)a −
b
2
et (n − 1)a 1
b
2
) dans la direction
i s’écrit maintenant :
s n =
(n−1)a1 b
2
(n−1)a− b
2
s 0 e
ikx sin i dx = s 0 be
ikna sin i sinc
kb sin i
2
et l’amplitude totale diffractée par tout le réseau (constitué de N fentes) dans la même
direction est :
s =
N −1
n=0
s n = s 0 b sinc
kb sin i
2
1 − e
−iNka sin i
1 − e −ika sin i
L’intensité de la lumière diffractée dans cette direction est donc :
I (i) = |s 0 |
2 b
2 sinc
2
pb sin i
l
sin
2
pNa sin i
l
sin 2
pa sin i
l
C’est donc le produit de la figure de diffraction obtenue pour un réseau de N fentes
infiniment minces (cf. question 1) par celle d’une fente de largeur b. À la limite où N est
grand, ce résultat est encore vrai, et l’intensité de chaque ordre du réseau est maintenant
pondérée par la figure de diffraction à l’infini d’une fente de largeur b ; le pic d’ordre p a
une intensité I p = I max sinc
2
pb sin i
l
avec sin i =
l
a
p, soit :
I p = I max sinc
2
pp
b
a
Dans ce cas, chaque pic d’ordre p est encore infiniment étroit, mais son intensité est
gouvernée par la largeur de la fente.
4.a. La figure de diffraction en lumière polychromatique est la superposition des figures de
diffraction obtenues pour chaque longueur d’onde. Expérimentalement, N étant grand,
on n’observe que les maxima principaux. L’ordre p = 0 (en i = 0) est confondu pour
toutes les longueurs d’onde (c’est le faisceau non dévié). Pour tous les autres ordres p fi 0,
les différentes longueurs d’onde de la lumière polychromatique sont séparées. À l’ordre
p, la longueur d’onde l m est observable dans la direction sin i m,p =
l m
a
p.
b. En général un spectromètre à réseau utilise un réseau par réflexion (qui sont de bien
meilleure qualité que les réseaux par transmission). Le réseau est plan. Il est éclairé en
lumière parallèle. Pour former un faisceau de rayons parallèles, on n’utilise ici non pas
des lentilles, mais des miroirs sphériques (les miroirs sont de meilleure qualité et moins
coûteux que les lentilles, a fortiori quand ils sont grands ; de plus ils ne présentent pas
de dispersion : leur distance focale est uniquement définie par leur rayon de courbure, et
ne dépend donc pas de la longueur d’onde). La fente d’entrée est placée au foyer objet
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i
i
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3. L’amplitude de la lumière diffractée par la n-ième fente (centrée en (n − 1)a et de
largeur b, donc comprise entre les abscisses (n − 1)a −
b
2
et (n − 1)a 1
b
2
) dans la direction
i s’écrit maintenant :
s n =
(n−1)a1 b
2
(n−1)a− b
2
s 0 e
ikx sin i dx = s 0 be
ikna sin i sinc
kb sin i
2
et l’amplitude totale diffractée par tout le réseau (constitué de N fentes) dans la même
direction est :
s =
N −1
n=0
s n = s 0 b sinc
kb sin i
2
1 − e
−iNka sin i
1 − e −ika sin i
L’intensité de la lumière diffractée dans cette direction est donc :
I (i) = |s 0 |
2 b
2 sinc
2
pb sin i
l
sin
2
pNa sin i
l
sin 2
pa sin i
l
C’est donc le produit de la figure de diffraction obtenue pour un réseau de N fentes
infiniment minces (cf. question 1) par celle d’une fente de largeur b. À la limite où N est
grand, ce résultat est encore vrai, et l’intensité de chaque ordre du réseau est maintenant
pondérée par la figure de diffraction à l’infini d’une fente de largeur b ; le pic d’ordre p a
une intensité I p = I max sinc
2
pb sin i
l
avec sin i =
l
a
p, soit :
I p = I max sinc
2
pp
b
a
Dans ce cas, chaque pic d’ordre p est encore infiniment étroit, mais son intensité est
gouvernée par la largeur de la fente.
4.a. La figure de diffraction en lumière polychromatique est la superposition des figures de
diffraction obtenues pour chaque longueur d’onde. Expérimentalement, N étant grand,
on n’observe que les maxima principaux. L’ordre p = 0 (en i = 0) est confondu pour
toutes les longueurs d’onde (c’est le faisceau non dévié). Pour tous les autres ordres p fi 0,
les différentes longueurs d’onde de la lumière polychromatique sont séparées. À l’ordre
p, la longueur d’onde l m est observable dans la direction sin i m,p =
l m
a
p.
b. En général un spectromètre à réseau utilise un réseau par réflexion (qui sont de bien
meilleure qualité que les réseaux par transmission). Le réseau est plan. Il est éclairé en
lumière parallèle. Pour former un faisceau de rayons parallèles, on n’utilise ici non pas
des lentilles, mais des miroirs sphériques (les miroirs sont de meilleure qualité et moins
coûteux que les lentilles, a fortiori quand ils sont grands ; de plus ils ne présentent pas
de dispersion : leur distance focale est uniquement définie par leur rayon de courbure, et
ne dépend donc pas de la longueur d’onde). La fente d’entrée est placée au foyer objet
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