solutions des exercices
i
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i
i
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i
i
i
b. D’où : I = |s|
2 = |s 0 |
2
sin
2
pa
l
N sin i
sin 2
pa
l
sin i
1
0
1
I(i)
a
λ
sin i
c. Les variations de I avec i sont présentées sur
la figure ci-contre. Le numérateur sin
2
pa
l
N sin i
s’annule pour sin i =
l
Na
n (avec n entier). Mais le
dénominateur s’annule en sin i =
l
a
p (avec p entier).
Lorsque n est un multiple de N (n = pN ), le numérateur et le dénominateur s’annulent simultanément
et le rapport tend vers N
2 (pour s’en convaincre, étudier la limite i → 0). Les autres valeurs sin i =
l
Na
n,
avec n fi pN , correspondent à des franges sombres.
Les maxima absolus d’intensité (dont l’intensité est
I = I max = |s 0 |
2 N
2 ) s’observent donc pour sin i =
l
a
p (avec p entier), soit pour une
différence de marche entre deux rayons diffractés consécutifs (n et n 1 1) égale à :
d = a sin i = pl
p est habituellement appelé l’ordre du maximum considéré. Pour ces maxima principaux,
deux rayons diffractés par deux fentes consécutives sont donc en phase.
Entre deux maxima principaux, il y a des maxima secondaires (au nombre de N −2). On les
observe approximativement entre les franges noires, soit pour sin i ≈
l
Na
n 1
1
2
(avec
n entier compris entre 1 et N − 2). L’intensité de ces maxima secondaires est beaucoup
plus faible que celle des maxima principaux : à titre d’exemple, on peut calculer le rapport
des intensités du premier maximum secondaire (n = 1) et du maximum principal ; on
obtient
I
sin i =
3
2
l
Na
I max
=
1
N 2 sin 2 (
3p
2N
)
, soit ≈
4
9p 2 ≈ 4,5 % lorsque N est grand.
Enfin, entre deux maxima principaux, l’intensité I s’annule pour sin i =
l
Na
n (avec n
entier compris entre 1 et N − 1), ce qui correspond à la position des franges noires.
2. À la limite où N est grand (N → ∞), la largeur des pics principaux diminue, et tend
vers 0 (on s’en aperçoit en particulier en remarquant que la position de la première frange
noire sin i =
l
Na
n, avec n = 1, tend vers 0). Il n’y a de lumière diffractée que dans les
directions des maxima principaux, pour sin i =
l
a
p.
7. OPTIQUE ONDULATOIRE
625
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b. D’où : I = |s|
2 = |s 0 |
2
sin
2
pa
l
N sin i
sin 2
pa
l
sin i
1
0
1
I(i)
a
λ
sin i
c. Les variations de I avec i sont présentées sur
la figure ci-contre. Le numérateur sin
2
pa
l
N sin i
s’annule pour sin i =
l
Na
n (avec n entier). Mais le
dénominateur s’annule en sin i =
l
a
p (avec p entier).
Lorsque n est un multiple de N (n = pN ), le numérateur et le dénominateur s’annulent simultanément
et le rapport tend vers N
2 (pour s’en convaincre, étudier la limite i → 0). Les autres valeurs sin i =
l
Na
n,
avec n fi pN , correspondent à des franges sombres.
Les maxima absolus d’intensité (dont l’intensité est
I = I max = |s 0 |
2 N
2 ) s’observent donc pour sin i =
l
a
p (avec p entier), soit pour une
différence de marche entre deux rayons diffractés consécutifs (n et n 1 1) égale à :
d = a sin i = pl
p est habituellement appelé l’ordre du maximum considéré. Pour ces maxima principaux,
deux rayons diffractés par deux fentes consécutives sont donc en phase.
Entre deux maxima principaux, il y a des maxima secondaires (au nombre de N −2). On les
observe approximativement entre les franges noires, soit pour sin i ≈
l
Na
n 1
1
2
(avec
n entier compris entre 1 et N − 2). L’intensité de ces maxima secondaires est beaucoup
plus faible que celle des maxima principaux : à titre d’exemple, on peut calculer le rapport
des intensités du premier maximum secondaire (n = 1) et du maximum principal ; on
obtient
I
sin i =
3
2
l
Na
I max
=
1
N 2 sin 2 (
3p
2N
)
, soit ≈
4
9p 2 ≈ 4,5 % lorsque N est grand.
Enfin, entre deux maxima principaux, l’intensité I s’annule pour sin i =
l
Na
n (avec n
entier compris entre 1 et N − 1), ce qui correspond à la position des franges noires.
2. À la limite où N est grand (N → ∞), la largeur des pics principaux diminue, et tend
vers 0 (on s’en aperçoit en particulier en remarquant que la position de la première frange
noire sin i =
l
Na
n, avec n = 1, tend vers 0). Il n’y a de lumière diffractée que dans les
directions des maxima principaux, pour sin i =
l
a
p.
7. OPTIQUE ONDULATOIRE
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