i
i
i
i
i
i
i
i
La frange centrale correspond maintenant à i = −i 0 . L’ensemble de la figure de diffraction
a été translaté de −i 0 . Notez que le centre de la frange centrale correspond au rayon non
diffracté (non dévié par la figure diffractante).
z
a.
b.
M
H
O
k
k
i y
i x
plan (OM ; k)
3.a. La géométrie du problème est
présentée sur la figure ci-contre. Les
rayons diffractés dans la direction
(i x , i y ) ont un vecteur d’onde
− →
k , avec
k x ≈ ki x et k y ≈ ki y . L’avance du
rayon passant par M par rapport à
celui passant par O est d = OH,
c’est-à-dire la projection de
− − →
OM
sur la direction du vecteur
− →
k , d’où
d =
− →
k
k
− − →
OM. L’amplitude de l’onde diffractée dans la direction
− →
k par la source infinitésimale située en M(x, y), de surface dxdy, est donc :
d
2 s = Ae
jkd dxdy = Ae
j
−
→
k
− − →
OM dxdy = Ae
jk(ixx1iyy) dxdy
Ainsi l’amplitude totale de l’onde diffractée dans la direction
− →
k est :
s =
x=a/2
x=−a/2
y=b/2
y=−b/2
d
2 s = Aab sinc
pa
l
i x
sinc
pb
l
i y
(où les 2 intégrales sur x et y sont précisément celle calculée à la question 1).
b. L’intensité de l’onde diffractée dans la direction
− →
k est donc :
I = |s|
2 = I max sinc
2
pa
l
i x
sinc
2
pa
l
i y
avec I max = |A|
2 a
2 b
2 . Les franges noires (I = 0) sont obtenues pour i x = ±n x
l
a
(avec
n x entier non nul) ou pour i y = ±n y
l
b
(avec n y entier non nul). Elles forment un réseau
rectangulaire (cf. figure p. 581), de pas
l
a
selon i x et
l
b
selon i y (si a > b, le pas en i x est
plus petit que celui en i y ). Les taches situées en i x = 0 ou en i y = 0 ont une surface
double. La tache centrale (i x = i y = 0) a une surface quadruple (cf. figure p. 581).
11 1.a. La n-ième fente (0 n N − 1) diffracte une onde s n = s 0 e
jkdn dans la
direction i (k = 2p/l), avec d n = na sin i (on a pris comme référence de phase l’onde
n = 0). L’onde totale diffractée dans la direction n est donc :
s =
N −1
n=0
s n = s 0
N −1
n=0
s n (e
jka sin i )
n = s 0
1 − e
jka sin iN
1 − e jka sin i
624
i
i
i
i
i
i
i
La frange centrale correspond maintenant à i = −i 0 . L’ensemble de la figure de diffraction
a été translaté de −i 0 . Notez que le centre de la frange centrale correspond au rayon non
diffracté (non dévié par la figure diffractante).
z
a.
b.
M
H
O
k
k
i y
i x
plan (OM ; k)
3.a. La géométrie du problème est
présentée sur la figure ci-contre. Les
rayons diffractés dans la direction
(i x , i y ) ont un vecteur d’onde
− →
k , avec
k x ≈ ki x et k y ≈ ki y . L’avance du
rayon passant par M par rapport à
celui passant par O est d = OH,
c’est-à-dire la projection de
− − →
OM
sur la direction du vecteur
− →
k , d’où
d =
− →
k
k
− − →
OM. L’amplitude de l’onde diffractée dans la direction
− →
k par la source infinitésimale située en M(x, y), de surface dxdy, est donc :
d
2 s = Ae
jkd dxdy = Ae
j
−
→
k
− − →
OM dxdy = Ae
jk(ixx1iyy) dxdy
Ainsi l’amplitude totale de l’onde diffractée dans la direction
− →
k est :
s =
x=a/2
x=−a/2
y=b/2
y=−b/2
d
2 s = Aab sinc
pa
l
i x
sinc
pb
l
i y
(où les 2 intégrales sur x et y sont précisément celle calculée à la question 1).
b. L’intensité de l’onde diffractée dans la direction
− →
k est donc :
I = |s|
2 = I max sinc
2
pa
l
i x
sinc
2
pa
l
i y
avec I max = |A|
2 a
2 b
2 . Les franges noires (I = 0) sont obtenues pour i x = ±n x
l
a
(avec
n x entier non nul) ou pour i y = ±n y
l
b
(avec n y entier non nul). Elles forment un réseau
rectangulaire (cf. figure p. 581), de pas
l
a
selon i x et
l
b
selon i y (si a > b, le pas en i x est
plus petit que celui en i y ). Les taches situées en i x = 0 ou en i y = 0 ont une surface
double. La tache centrale (i x = i y = 0) a une surface quadruple (cf. figure p. 581).
11 1.a. La n-ième fente (0 n N − 1) diffracte une onde s n = s 0 e
jkdn dans la
direction i (k = 2p/l), avec d n = na sin i (on a pris comme référence de phase l’onde
n = 0). L’onde totale diffractée dans la direction n est donc :
s =
N −1
n=0
s n = s 0
N −1
n=0
s n (e
jka sin i )
n = s 0
1 − e
jka sin iN
1 − e jka sin i
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