solutions des exercices
i
i
i
i
i
i
i
i
Il est réaliste de considérer que l’angle i est petit. D’où :
s = Aa sinc
pa
l
i
b. L’intensité de la lumière diffractée dans la direction i est donc :
I = |s|
2 = |A|
2 a
2 sinc
2
pa
l
i
c. La fonction sinc
2 x est maximale en x = 0 et son maximum est égal à 1, d’où l’intensité
maximale I max = |A|
2 a
2 , et I = I max sinc
2
pa
l
i
. Les variations de l’intensité I en
fonction de i sont représentées sur la figure p. 577 I est maximale en i = 0 (frange
centrale), et au voisinage de i = ±
n 1
1
2
l
a
avec n entier positif ou nul. Elle est
minimale (nulle) en i = ±n
l
a
(avec n entier positif ). La largeur angulaire de la frange
centrale (à sa base) est Di = 2
l
a
. Elle est 2 fois plus large que les autres franges, dont la
largeur angulaire (à la base) est Di
=
l
a
(voir figure p. 577).
x
z
M
O
H
H’
i
i 0
2. Si le faisceau incident fait l’angle i 0 avec la normale à l’écran,
les amplitudes émises par les différentes fentes sources sont
déphasées. L’onde incidente arrivant en M est en avance par
rapport à celle arrivant en O, car elle n’a pas eu à parcourir H
O
(voir figure ci-contre ; la surface H
M est un plan d’onde de
l’onde incidente), d’où son amplitude s 0 (M) en M, exprimée
en fonction de celle en O, soit s 0 (O) :
s 0 (M) = s 0 (O)e
jkH
O
Ainsi la fente infinitésimale située en x, de largeur dx, émet dans la direction i une onde
d’amplitude proportionnelle à s 0 (M)e
jkOH , soit :
ds = Adxe
jk(H
O1OH)
(On peut aussi remarquer sur la figure que l’avance totale de l’onde passant par M par
rapport à celle passant par O est H
O 1 OH). On a H
O = x sin i 0 ≈ xi 0 (en orientant
les angles comme indiqué sur la figure), d’où :
ds = Adxe
jkx(i1i 0 )
Le reste du calcul de s et de I s’effectue exactement comme à la question 1, à la seule
différence que i est remplacé par i 1 i 0 . L’amplitude totale de l’onde diffractée dans la
direction i est donc :
s = Aa sinc
pa
l
(i 1 i 0 )
et son intensité est :
I = I max sinc
2
pa
l
(i 1 i 0 )
7. OPTIQUE ONDULATOIRE
623
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Il est réaliste de considérer que l’angle i est petit. D’où :
s = Aa sinc
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b. L’intensité de la lumière diffractée dans la direction i est donc :
I = |s|
2 = |A|
2 a
2 sinc
2
pa
l
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c. La fonction sinc
2 x est maximale en x = 0 et son maximum est égal à 1, d’où l’intensité
maximale I max = |A|
2 a
2 , et I = I max sinc
2
pa
l
i
. Les variations de l’intensité I en
fonction de i sont représentées sur la figure p. 577 I est maximale en i = 0 (frange
centrale), et au voisinage de i = ±
n 1
1
2
l
a
avec n entier positif ou nul. Elle est
minimale (nulle) en i = ±n
l
a
(avec n entier positif ). La largeur angulaire de la frange
centrale (à sa base) est Di = 2
l
a
. Elle est 2 fois plus large que les autres franges, dont la
largeur angulaire (à la base) est Di
=
l
a
(voir figure p. 577).
x
z
M
O
H
H’
i
i 0
2. Si le faisceau incident fait l’angle i 0 avec la normale à l’écran,
les amplitudes émises par les différentes fentes sources sont
déphasées. L’onde incidente arrivant en M est en avance par
rapport à celle arrivant en O, car elle n’a pas eu à parcourir H
O
(voir figure ci-contre ; la surface H
M est un plan d’onde de
l’onde incidente), d’où son amplitude s 0 (M) en M, exprimée
en fonction de celle en O, soit s 0 (O) :
s 0 (M) = s 0 (O)e
jkH
O
Ainsi la fente infinitésimale située en x, de largeur dx, émet dans la direction i une onde
d’amplitude proportionnelle à s 0 (M)e
jkOH , soit :
ds = Adxe
jk(H
O1OH)
(On peut aussi remarquer sur la figure que l’avance totale de l’onde passant par M par
rapport à celle passant par O est H
O 1 OH). On a H
O = x sin i 0 ≈ xi 0 (en orientant
les angles comme indiqué sur la figure), d’où :
ds = Adxe
jkx(i1i 0 )
Le reste du calcul de s et de I s’effectue exactement comme à la question 1, à la seule
différence que i est remplacé par i 1 i 0 . L’amplitude totale de l’onde diffractée dans la
direction i est donc :
s = Aa sinc
pa
l
(i 1 i 0 )
et son intensité est :
I = I max sinc
2
pa
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(i 1 i 0 )
7. OPTIQUE ONDULATOIRE
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