solutions des exercices
i
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i
On obtient ainsi l’intensité de la lumière transmise :
I = |s|
2 =
|s 0 |
2
1 1 r 4 − 2r 2 cos
d g
2p
l
Cette intensité est maximale si cos(d g
2p
l
) = 1 (franges brillantes), elle vaut
I max =
|s 0 |
2
(1 − r 2 ) 2 . On a donc :
I =
I max
1 1
4r
2
(1 − r 2 ) 2 sin
2
p
l
d g
Si a i , donc a r varie (augmente), d g = 2ne cos a r varie (diminue). Les variations de
I avec d g sont périodiques (de période l), et sont représentées (en fonction de l’ordre
d’interférence d g /l) sur la figure p. 571.
4.a. On observe des anneaux (centrés sur l’axe de symétrie du système).
b. Au centre a i = a r = 0 et d g = 2ne. L’ordre d’interférence est donc p O =
d g
l
=
2ne
l
.
c. Soient da i la largeur angulaire à mi-hauteur d’un anneau brillant, et Da i la distance
angulaire entre cet anneau brillant (observé pour l’angle d’incidence a i ) et le suivant
(observé pour l’angle d’incidence a i 1 Da i ). On a donc :
I (a i ) = I max I (a i 1 da i ) =
I max
2
I (a i 1 Da i ) = I max
Ainsi, pour les angles d’incidence a i et a i 1 Da i , la différence de marche géométrique
vaut respectivement pl, et ( p − 1)l(d g décroît si l’angle d’incidence croît). Pour l’angle
a i 1
da i
2
, la différence de marche géométrique est donnée par :
I
a i 1
da i
2
=
I max
2
=
I max
1 1 m sin 2
pd g
l
où on a posé m =
4r
2
(1 − r 2 ) 2 . D’où m sin
2
pd g
l
= 1, soit d g = ±
l
p
√
m
(modulo l).
Pour l’angle a i 1
da i
2
, la différence de marche est donc :
d g = pl −
l
p
√
m
(c’est-à-dire la solution de l’équation m sin
2
pd g
l
= 1 immédiatement inférieure à
pl).
On sait comment sont reliés d g et a i :
d g = 2ne cos a r
et
sin a i = n sin a r
7. OPTIQUE ONDULATOIRE
621
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On obtient ainsi l’intensité de la lumière transmise :
I = |s|
2 =
|s 0 |
2
1 1 r 4 − 2r 2 cos
d g
2p
l
Cette intensité est maximale si cos(d g
2p
l
) = 1 (franges brillantes), elle vaut
I max =
|s 0 |
2
(1 − r 2 ) 2 . On a donc :
I =
I max
1 1
4r
2
(1 − r 2 ) 2 sin
2
p
l
d g
Si a i , donc a r varie (augmente), d g = 2ne cos a r varie (diminue). Les variations de
I avec d g sont périodiques (de période l), et sont représentées (en fonction de l’ordre
d’interférence d g /l) sur la figure p. 571.
4.a. On observe des anneaux (centrés sur l’axe de symétrie du système).
b. Au centre a i = a r = 0 et d g = 2ne. L’ordre d’interférence est donc p O =
d g
l
=
2ne
l
.
c. Soient da i la largeur angulaire à mi-hauteur d’un anneau brillant, et Da i la distance
angulaire entre cet anneau brillant (observé pour l’angle d’incidence a i ) et le suivant
(observé pour l’angle d’incidence a i 1 Da i ). On a donc :
I (a i ) = I max I (a i 1 da i ) =
I max
2
I (a i 1 Da i ) = I max
Ainsi, pour les angles d’incidence a i et a i 1 Da i , la différence de marche géométrique
vaut respectivement pl, et ( p − 1)l(d g décroît si l’angle d’incidence croît). Pour l’angle
a i 1
da i
2
, la différence de marche géométrique est donnée par :
I
a i 1
da i
2
=
I max
2
=
I max
1 1 m sin 2
pd g
l
où on a posé m =
4r
2
(1 − r 2 ) 2 . D’où m sin
2
pd g
l
= 1, soit d g = ±
l
p
√
m
(modulo l).
Pour l’angle a i 1
da i
2
, la différence de marche est donc :
d g = pl −
l
p
√
m
(c’est-à-dire la solution de l’équation m sin
2
pd g
l
= 1 immédiatement inférieure à
pl).
On sait comment sont reliés d g et a i :
d g = 2ne cos a r
et
sin a i = n sin a r
7. OPTIQUE ONDULATOIRE
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