i
i
i
i
i
i
i
i
1. M est en mouvement sur un plan horizontal (on négligera tout frottement)
m
M
B
A
C
D
x
y
(S 1 )
(S 2 )
Le solide S 1 de masse M peut glisser d’un mouvement de translation sans frottements sur
le plan horizontal. La masse m(S 2 ) est en translation verticale. La poulie, mobile autour
d’un axe horizontal a un moment d’inertie J par rapport à celui ci et un rayon r.
Calculer l’accélération de la masse M en fonction de m, M, J , r et g. Commenter.
Exercice 25 Mouvement d’une fusée à un étage
Ce problème permet de comprendre la propulsion par réaction. Il met en œuvre l’utilisation de la relation fondamentale de la dynamique pour un système déformable en faisant
un bilan de quantité de mouvement entre deux instants voisins.
Une fusée dont on désignera la masse à l’instant t par m fonctionne en éjectant des gaz
à une vitesse − → u constante par rapport à la tuyère, avec un débit constant D = −
dm
dt
(positif ).
1 En étudiant la variation de quantité de mouvement entre les instants t et t 1 dt d’un
système convenablement choisi, établir l’équation du mouvement de la fusée en présence
de forces extérieures de résultante
−
→
f e , en fonction de − → u ,
− →
f e , D, m et de son vecteur vitesse
− →
V (t). Comment peut-on définir la poussée du réacteur ?
2. La fusée de masse totale (M 1 m 0 ) à t = 0 est placée sur son aire de lancement. La
masse initiale de propergol est m 0 et la masse de l’ensemble de la structure est M. A quelle
condition peut-elle décoller du pas de tir ?
3. La condition de décollage étant réalisée, et la fusée en translation verticale, exprimer
sa vitesse V f lorsque la totalité du propergol est consommée en fonction de M, m 0 , u, g et
D, en négligeant la résistance de l’air. Commenter.
4. Calculer alors l’altitude z f atteinte par la fusée lorsque tout le propergol est consommé
en fonction de M, m 0 , u, g et D ; discuter ce résultat en fonction des différents paramètres.
1. MÉCANIQUE
59
i
i
i
i
i
i
i
1. M est en mouvement sur un plan horizontal (on négligera tout frottement)
m
M
B
A
C
D
x
y
(S 1 )
(S 2 )
Le solide S 1 de masse M peut glisser d’un mouvement de translation sans frottements sur
le plan horizontal. La masse m(S 2 ) est en translation verticale. La poulie, mobile autour
d’un axe horizontal a un moment d’inertie J par rapport à celui ci et un rayon r.
Calculer l’accélération de la masse M en fonction de m, M, J , r et g. Commenter.
Exercice 25 Mouvement d’une fusée à un étage
Ce problème permet de comprendre la propulsion par réaction. Il met en œuvre l’utilisation de la relation fondamentale de la dynamique pour un système déformable en faisant
un bilan de quantité de mouvement entre deux instants voisins.
Une fusée dont on désignera la masse à l’instant t par m fonctionne en éjectant des gaz
à une vitesse − → u constante par rapport à la tuyère, avec un débit constant D = −
dm
dt
(positif ).
1 En étudiant la variation de quantité de mouvement entre les instants t et t 1 dt d’un
système convenablement choisi, établir l’équation du mouvement de la fusée en présence
de forces extérieures de résultante
−
→
f e , en fonction de − → u ,
− →
f e , D, m et de son vecteur vitesse
− →
V (t). Comment peut-on définir la poussée du réacteur ?
2. La fusée de masse totale (M 1 m 0 ) à t = 0 est placée sur son aire de lancement. La
masse initiale de propergol est m 0 et la masse de l’ensemble de la structure est M. A quelle
condition peut-elle décoller du pas de tir ?
3. La condition de décollage étant réalisée, et la fusée en translation verticale, exprimer
sa vitesse V f lorsque la totalité du propergol est consommée en fonction de M, m 0 , u, g et
D, en négligeant la résistance de l’air. Commenter.
4. Calculer alors l’altitude z f atteinte par la fusée lorsque tout le propergol est consommé
en fonction de M, m 0 , u, g et D ; discuter ce résultat en fonction des différents paramètres.
1. MÉCANIQUE
59