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Les chemins optiques entre un point M du plan focal de la lentille L et les différentes
sources fictives S dépendent de S. En prenant comme référence la source fictive S 1 située
à l’un des angles de l’ouverture rectangulaire, on calcule la différence de chemin optique
d 1 = (SM) − (S 1 M) comme précédemment. En représentant le plan contenant S 1 et le
rayon lumineux issu de S (cf. figure b. page précédente), on constate que :
d 1 = (SP) = − − → n
− →
S 1 S
(98)
où − → n représente toujours le vecteur unitaire dans la direction du rayon diffracté. En
utilisant les cosinus directeurs du vecteur − → n , on obtient :
d 1 = ax 1 by
(99)
L’amplitude en M de l’onde issue de la source fictive S est donc :
d
2 s(M) = d
2 s(S)e
ikd 1 = Adxdye
ik(ax1by)
(100)
En sommant toutes les amplitudes en M issues de chacune des sources fictives S, on
obtient l’amplitude de l’onde lumineuse en M :
s(M) =
a
0
b
0
Adxdye
ik(ax1by) = A
a
0
e
ikax dx
b
0
e
ikby dy
(101)
L’intégrale de surface porte sur tous les points de l’ouverture. Elle est factorisable en deux
intégrales simples, identiques à celle que nous avons calculée en étudiant la diffraction
par une fente (cf. 10.1) :
s(M) = A
e
ikaa
− 1
ika
e
ikbb
− 1
ikb
(102)
On en déduit l’intensité lumineuse en M :
I (M) = |s(M)|
2 = I 0 sinc
2 (
kaa
2
) sinc
2
kbb
2
(103)
où I 0 = |A|
2 a
2 b
2 désigne l’intensité maximum, qui est au centre de la figure de diffraction
(a = b = 0), c’est-à-dire ici au foyer F de la lentille. Cette intensité I s’annule si a = n x
l
a
ou si b = n y
l
b
, n x et n y étant deux entiers non nuls. La figure de diffraction est composée
de deux réseaux de franges noires, l’un orienté selon Ox, l’autre selon Oy, décomposant
le plan en rectangles. L’allure de la figure de diffraction est illustrée par la figure p. 581,
dans laquelle on a représenté les franges sombres. Notons que ces rectangles ont pour
dimensions angulaires l/a et l/b, sauf ceux sur l’axe des x et celui des y qui ont un
côté deux fois plus grand. Le rectangle central a ses deux côtés deux fois plus grands.
Au centre de chacun de ces rectangles, on trouve un maximum d’intensité. La figure cidessous donne (en %) leurs valeurs relatives à celle du maximum central (qui se déduisent
aisément des valeurs des maxima de sinc
2 x).
580
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Les chemins optiques entre un point M du plan focal de la lentille L et les différentes
sources fictives S dépendent de S. En prenant comme référence la source fictive S 1 située
à l’un des angles de l’ouverture rectangulaire, on calcule la différence de chemin optique
d 1 = (SM) − (S 1 M) comme précédemment. En représentant le plan contenant S 1 et le
rayon lumineux issu de S (cf. figure b. page précédente), on constate que :
d 1 = (SP) = − − → n
− →
S 1 S
(98)
où − → n représente toujours le vecteur unitaire dans la direction du rayon diffracté. En
utilisant les cosinus directeurs du vecteur − → n , on obtient :
d 1 = ax 1 by
(99)
L’amplitude en M de l’onde issue de la source fictive S est donc :
d
2 s(M) = d
2 s(S)e
ikd 1 = Adxdye
ik(ax1by)
(100)
En sommant toutes les amplitudes en M issues de chacune des sources fictives S, on
obtient l’amplitude de l’onde lumineuse en M :
s(M) =
a
0
b
0
Adxdye
ik(ax1by) = A
a
0
e
ikax dx
b
0
e
ikby dy
(101)
L’intégrale de surface porte sur tous les points de l’ouverture. Elle est factorisable en deux
intégrales simples, identiques à celle que nous avons calculée en étudiant la diffraction
par une fente (cf. 10.1) :
s(M) = A
e
ikaa
− 1
ika
e
ikbb
− 1
ikb
(102)
On en déduit l’intensité lumineuse en M :
I (M) = |s(M)|
2 = I 0 sinc
2 (
kaa
2
) sinc
2
kbb
2
(103)
où I 0 = |A|
2 a
2 b
2 désigne l’intensité maximum, qui est au centre de la figure de diffraction
(a = b = 0), c’est-à-dire ici au foyer F de la lentille. Cette intensité I s’annule si a = n x
l
a
ou si b = n y
l
b
, n x et n y étant deux entiers non nuls. La figure de diffraction est composée
de deux réseaux de franges noires, l’un orienté selon Ox, l’autre selon Oy, décomposant
le plan en rectangles. L’allure de la figure de diffraction est illustrée par la figure p. 581,
dans laquelle on a représenté les franges sombres. Notons que ces rectangles ont pour
dimensions angulaires l/a et l/b, sauf ceux sur l’axe des x et celui des y qui ont un
côté deux fois plus grand. Le rectangle central a ses deux côtés deux fois plus grands.
Au centre de chacun de ces rectangles, on trouve un maximum d’intensité. La figure cidessous donne (en %) leurs valeurs relatives à celle du maximum central (qui se déduisent
aisément des valeurs des maxima de sinc
2 x).
580