i
i
i
i
i
i
i
i
On suppose ici que a est petit, c’est-à-dire qu’on est dans les conditions de l’optique
paraxiale.
Pour obtenir l’expression de l’amplitude s(M) de l’onde lumineuse en M, on ajoute les
amplitudes en M des ondes émises par chacune des sources fictives. Chacune des sources
émet une onde d’amplitude proportionnelle à sa surface, donc l’amplitude émise par une
fente élémentaire de largeur dx est proportionnelle à sa largeur :
ds(S) = b f dx
(84)
(où b f est une constante de proportionnalité) et l’amplitude en M de la même onde (émise
par S) est déphasée de kd (avec k =
2p
l
), d’où :
ds(M) = b f dxe
ikd
(85)
Ainsi l’amplitude lumineuse totale reçue en M s’écrit :
s(M) =
ds(M) =
a
0
b f e
ikd dx
(86)
Remarque : puisqu’il y a une infinité de sources fictives S, repérées par la variable
continue x, la somme sur toutes les sources fictives se traduit ici par une intégrale sur
x. D’autre part, dans les expressions (85) et (86), on a volontairement oublié le facteur
e
ik(PM) dû au déphasage entre le plan d’onde S 1 P et le point M. En effet ce facteur est
le même pour toutes les sources fictives S, et il disparaîtra lorsqu’on calculera l’intensité
I = |s(M)|
2 de la lumière diffusée en M.
L’intégrale se calcule aisément, on a :
s(M) = b f
a
0
e
ikax dx = b f
e
ikaa
− 1
ika
(87)
D’où l’expression de l’intensité de la lumière diffractée en M :
I = |s(M)|
2 =
b f
2
e
ikaa
− 1
2
(ka) 2
=
b f
2
4 sin
2 (
kaa
2
)
(ka) 2
=
b f
2 a
2 sinc
2
kaa
2
(88)
On introduit ici la fonction sinus cardinal, sinc, définie par :
sinc(x) =
sin x
x
(89)
Si x → 0, sinc(x) → 1. Ainsi, si a → 0, I → I 0 =
b f
2 a
2 . Cette valeur de l’intensité
lumineuse correspond à celle reçue au foyer de la lentille (i.e. pour a = 0). On retiendra :
I = I 0 sinc
2
kaa
2
= I 0 sinc
2
p
a
l
a
(90)
576
i
i
i
i
i
i
i
On suppose ici que a est petit, c’est-à-dire qu’on est dans les conditions de l’optique
paraxiale.
Pour obtenir l’expression de l’amplitude s(M) de l’onde lumineuse en M, on ajoute les
amplitudes en M des ondes émises par chacune des sources fictives. Chacune des sources
émet une onde d’amplitude proportionnelle à sa surface, donc l’amplitude émise par une
fente élémentaire de largeur dx est proportionnelle à sa largeur :
ds(S) = b f dx
(84)
(où b f est une constante de proportionnalité) et l’amplitude en M de la même onde (émise
par S) est déphasée de kd (avec k =
2p
l
), d’où :
ds(M) = b f dxe
ikd
(85)
Ainsi l’amplitude lumineuse totale reçue en M s’écrit :
s(M) =
ds(M) =
a
0
b f e
ikd dx
(86)
Remarque : puisqu’il y a une infinité de sources fictives S, repérées par la variable
continue x, la somme sur toutes les sources fictives se traduit ici par une intégrale sur
x. D’autre part, dans les expressions (85) et (86), on a volontairement oublié le facteur
e
ik(PM) dû au déphasage entre le plan d’onde S 1 P et le point M. En effet ce facteur est
le même pour toutes les sources fictives S, et il disparaîtra lorsqu’on calculera l’intensité
I = |s(M)|
2 de la lumière diffusée en M.
L’intégrale se calcule aisément, on a :
s(M) = b f
a
0
e
ikax dx = b f
e
ikaa
− 1
ika
(87)
D’où l’expression de l’intensité de la lumière diffractée en M :
I = |s(M)|
2 =
b f
2
e
ikaa
− 1
2
(ka) 2
=
b f
2
4 sin
2 (
kaa
2
)
(ka) 2
=
b f
2 a
2 sinc
2
kaa
2
(88)
On introduit ici la fonction sinus cardinal, sinc, définie par :
sinc(x) =
sin x
x
(89)
Si x → 0, sinc(x) → 1. Ainsi, si a → 0, I → I 0 =
b f
2 a
2 . Cette valeur de l’intensité
lumineuse correspond à celle reçue au foyer de la lentille (i.e. pour a = 0). On retiendra :
I = I 0 sinc
2
kaa
2
= I 0 sinc
2
p
a
l
a
(90)
576