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i
i
i
i
i
i
a. À quelle condition sur G la roue arrière ne patinera-t-elle pas ? (Mouvement de la moto
sans glissement de la roue arrière). Commenter le sens physique de ce résultat.
b. Sur une route enneigée, lors d’un démarrage à vitesse de rotation du moteur fixée, on
constate que la roue motrice qui « patine » en première roule sans glisser si on adopte un
rapport supérieur de la boîte à vitesse. Pourquoi ?
Exercice 22 Mouvement d’une bille sur un plan incline
R ba
+
y
x
α
z
O
G
I
La résolution de ce problème requiert la
connaissance des lois du frottement, la
notion de roulement sans glissement et les
théorèmes fondamentaux de la mécanique
du solide dans un référentiel galiléen.
Une bille homogène, de masse m, de rayon
r est placée sur un plan incliné d’un angle a
sur l’horizontale ; on appelle f le coefficient
de frottement entre la bille et le plan. Son
centre d’inertie G est en mouvement rectiligne selon la ligne de plus grande pente du plan incliné et est repéré par l’abscisse x G . Son
mouvement de rotation dans le référentiel barycentrique ne comporte pas de pivotement ;
la rotation se fait autour d’un axe passant par G et parallèle à Oz et est repérée par l’angle
f. On posera v =
dF
dt
; noter que le produit vectoriel impose ici le sens positif pour v :
v est négatif si la bille descend.
1. On décompose la réaction du support sur la bille en une composante normale
− →
N et
une composante tangentielle
− →
T . On notera algébriquement leurs projections N et T .
Expliciter les trois équations, dont deux équations différentielles en x G et f, obtenues à
partir des théorèmes fondamentaux de la dynamique.
2. Roulement sans glissement
a. Écrire la relation entre ˙
x G et ˙
F dans le cas où la bille roule sans glisser sur le plan.
b. Déterminer le mouvement de G.
c. Calculer N et T en fonction de m, g et a, puis montrer que le roulement sans glissement
n’est possible que si a est inférieur à une certaine valeur a l .
d. On lâche la bille sans vitesse initiale à t = 0, l’abscisse de G étant nulle. Calculer x G en
fonction du temps. Calculer l’énergie cinétique de la bille en fonction de m et de V G = ˙
x G ,
puis la variation d’énergie cinétique de la bille entre t = 0 et t en fonction du temps.
Calculer par ailleurs le travail du poids entre t = 0 et t en utilisant l’équation horaire.
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, en déduire le travail des forces de liaison.
Que peut-on dire du travail des forces de liaison lorsque l’on a roulement sans glissement ?
3. Cas où a > a l
Calculer l’accélération de G, puis l’accélération angulaire de la bille en fonction de f , g, r et
a pour a > a l . Tracer l’évolution de l’accélération de G en fonction de sin a ; commenter.
1. MÉCANIQUE
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a. À quelle condition sur G la roue arrière ne patinera-t-elle pas ? (Mouvement de la moto
sans glissement de la roue arrière). Commenter le sens physique de ce résultat.
b. Sur une route enneigée, lors d’un démarrage à vitesse de rotation du moteur fixée, on
constate que la roue motrice qui « patine » en première roule sans glisser si on adopte un
rapport supérieur de la boîte à vitesse. Pourquoi ?
Exercice 22 Mouvement d’une bille sur un plan incline
R ba
+
y
x
α
z
O
G
I
La résolution de ce problème requiert la
connaissance des lois du frottement, la
notion de roulement sans glissement et les
théorèmes fondamentaux de la mécanique
du solide dans un référentiel galiléen.
Une bille homogène, de masse m, de rayon
r est placée sur un plan incliné d’un angle a
sur l’horizontale ; on appelle f le coefficient
de frottement entre la bille et le plan. Son
centre d’inertie G est en mouvement rectiligne selon la ligne de plus grande pente du plan incliné et est repéré par l’abscisse x G . Son
mouvement de rotation dans le référentiel barycentrique ne comporte pas de pivotement ;
la rotation se fait autour d’un axe passant par G et parallèle à Oz et est repérée par l’angle
f. On posera v =
dF
dt
; noter que le produit vectoriel impose ici le sens positif pour v :
v est négatif si la bille descend.
1. On décompose la réaction du support sur la bille en une composante normale
− →
N et
une composante tangentielle
− →
T . On notera algébriquement leurs projections N et T .
Expliciter les trois équations, dont deux équations différentielles en x G et f, obtenues à
partir des théorèmes fondamentaux de la dynamique.
2. Roulement sans glissement
a. Écrire la relation entre ˙
x G et ˙
F dans le cas où la bille roule sans glisser sur le plan.
b. Déterminer le mouvement de G.
c. Calculer N et T en fonction de m, g et a, puis montrer que le roulement sans glissement
n’est possible que si a est inférieur à une certaine valeur a l .
d. On lâche la bille sans vitesse initiale à t = 0, l’abscisse de G étant nulle. Calculer x G en
fonction du temps. Calculer l’énergie cinétique de la bille en fonction de m et de V G = ˙
x G ,
puis la variation d’énergie cinétique de la bille entre t = 0 et t en fonction du temps.
Calculer par ailleurs le travail du poids entre t = 0 et t en utilisant l’équation horaire.
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, en déduire le travail des forces de liaison.
Que peut-on dire du travail des forces de liaison lorsque l’on a roulement sans glissement ?
3. Cas où a > a l
Calculer l’accélération de G, puis l’accélération angulaire de la bille en fonction de f , g, r et
a pour a > a l . Tracer l’évolution de l’accélération de G en fonction de sin a ; commenter.
1. MÉCANIQUE
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