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Exercice 20 Collisions élastiques en mécanique classique
Un projectile N de masse m de vitesse
V 0 par rapport au référentiel du laboratoire R lab
heurte une cible C de masse km au repos dans R lab . Le vecteur vitesse
V N
du projectile
après le choc n’est pas forcément colinéaire à
V 0 ; on se propose de calculer l’énergie cinétique moyenne du projectile après le choc en moyennant sur toutes les directions possibles.
Il est beaucoup plus commode de faire ce calcul dans le référentiel du centre de masse
(ou barycentrique) R ba . On appelle
V G le vecteur vitesse du centre de masse du système
{N , C} par rapport à R lab , et on notera
u N ,
u C ,
u N
,
u C
les vecteurs vitesses du projectile
et de la cible respectivement avant puis après le choc par rapport au référentiel R ba .
1. Relations générales
a. Calculer
V G ,
u N et
u C en fonction de
V 0 et k. Montrer qu’on a une relation très simple
entre
u N ,
u C et k.
b. Quelle équation relie
u N
,
u C
et k ?
c. Le choc est de plus supposé élastique ; montrer alors qu’on peut en déduire une relation
entre
u N et
u N
, puis entre
u C et
u C
.
2. Énergie cinétique moyenne du projectile après le choc
a. On note a l’angle entre les directions de
V G et de
u N
; c’est la déviation mesurée dans
le référentiel du centre de masse. Exprimer l’énergie cinétique E
C (N/R lab ) du projectile
après le choc par rapport au laboratoire en fonction de son énergie cinétique initiale
E 0 =
1
2
mV
2
0 , de k et de a. Que peut-on dire du rapport entre E
C (N/R lab ) et E 0 ?
b. Toutes les directions sont permises dans R ba ; on admettra de plus que la répartition de
l’angle de déviation est isotrope dans R ba . Justifier l’expression de la valeur moyenne de
l’énergie cinétique du projectile après le choc par rapport au laboratoire :
E
C (N/R lab ) =
1
2
p
0
E
C (N/R lab ) sin ada
Montrer que la valeur moyenne de l’énergie cinétique E 1 du projectile après un choc
s’écrit E 1 = hE 0 , où le facteur d’efficacité du ralentissement h ne dépend que de k ;
le ralentissement est d’autant plus efficace que h est faible. Tracer l’allure de la courbe
donnant les variations de h en fonction de k. Commenter.
3. Cas où la cible est plus légère que le projectile : k < 1
Les diagrammes de collision permettent de représenter l’ensemble des lois de conservation
au cours d’un choc ; on les construit de la manière suivante.
Le lieu des extrémités des vecteurs vitesse − → u
N du projectile dans R ba après le choc est un
cercle de rayon r et le lieu des extrémités des vecteurs vitesse − → u
C de la cible dans R ba est
un cercle de rayon 1. Que vaut r pour un choc élastique ? Le vecteur
V G est parallèle à
l’axe Oz. a repère l’angle entre
V G et − → u
N et peut varier de 0 à 2p.
Représenter
u N ,
u C , − → u
N , − → u
C et
V G . Tracer alors les vecteurs vitesse
V N ,
− →
V
N et
− →
V
C
dans le référentiel du laboratoire. Montrer alors que si k < 1, l’angle de déviation D du
projectile, mesuré dans le laboratoire est obligatoirement inférieur à une certaine valeur
D max ne dépendant que de k . Commenter.
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Exercice 20 Collisions élastiques en mécanique classique
Un projectile N de masse m de vitesse
V 0 par rapport au référentiel du laboratoire R lab
heurte une cible C de masse km au repos dans R lab . Le vecteur vitesse
V N
du projectile
après le choc n’est pas forcément colinéaire à
V 0 ; on se propose de calculer l’énergie cinétique moyenne du projectile après le choc en moyennant sur toutes les directions possibles.
Il est beaucoup plus commode de faire ce calcul dans le référentiel du centre de masse
(ou barycentrique) R ba . On appelle
V G le vecteur vitesse du centre de masse du système
{N , C} par rapport à R lab , et on notera
u N ,
u C ,
u N
,
u C
les vecteurs vitesses du projectile
et de la cible respectivement avant puis après le choc par rapport au référentiel R ba .
1. Relations générales
a. Calculer
V G ,
u N et
u C en fonction de
V 0 et k. Montrer qu’on a une relation très simple
entre
u N ,
u C et k.
b. Quelle équation relie
u N
,
u C
et k ?
c. Le choc est de plus supposé élastique ; montrer alors qu’on peut en déduire une relation
entre
u N et
u N
, puis entre
u C et
u C
.
2. Énergie cinétique moyenne du projectile après le choc
a. On note a l’angle entre les directions de
V G et de
u N
; c’est la déviation mesurée dans
le référentiel du centre de masse. Exprimer l’énergie cinétique E
C (N/R lab ) du projectile
après le choc par rapport au laboratoire en fonction de son énergie cinétique initiale
E 0 =
1
2
mV
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0 , de k et de a. Que peut-on dire du rapport entre E
C (N/R lab ) et E 0 ?
b. Toutes les directions sont permises dans R ba ; on admettra de plus que la répartition de
l’angle de déviation est isotrope dans R ba . Justifier l’expression de la valeur moyenne de
l’énergie cinétique du projectile après le choc par rapport au laboratoire :
E
C (N/R lab ) =
1
2
p
0
E
C (N/R lab ) sin ada
Montrer que la valeur moyenne de l’énergie cinétique E 1 du projectile après un choc
s’écrit E 1 = hE 0 , où le facteur d’efficacité du ralentissement h ne dépend que de k ;
le ralentissement est d’autant plus efficace que h est faible. Tracer l’allure de la courbe
donnant les variations de h en fonction de k. Commenter.
3. Cas où la cible est plus légère que le projectile : k < 1
Les diagrammes de collision permettent de représenter l’ensemble des lois de conservation
au cours d’un choc ; on les construit de la manière suivante.
Le lieu des extrémités des vecteurs vitesse − → u
N du projectile dans R ba après le choc est un
cercle de rayon r et le lieu des extrémités des vecteurs vitesse − → u
C de la cible dans R ba est
un cercle de rayon 1. Que vaut r pour un choc élastique ? Le vecteur
V G est parallèle à
l’axe Oz. a repère l’angle entre
V G et − → u
N et peut varier de 0 à 2p.
Représenter
u N ,
u C , − → u
N , − → u
C et
V G . Tracer alors les vecteurs vitesse
V N ,
− →
V
N et
− →
V
C
dans le référentiel du laboratoire. Montrer alors que si k < 1, l’angle de déviation D du
projectile, mesuré dans le laboratoire est obligatoirement inférieur à une certaine valeur
D max ne dépendant que de k . Commenter.
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