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i
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i
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i
2.2.2.f. La diffraction n’intervient pratiquement pas ici car le paramètre l/a est très
petit devant 1 (l/a ≈ 0, 02). Ceci justifie le traitement précédent à l’aide de l’optique
géométrique.
n (y)
n 1
a
b
y
– a
– b
n 2
1
3.1. Voir figure ci-contre.
3.2. D’après la question 1.3.b), le rayon
lumineux a sa concavité orientée vers les
n croissants. Ainsi, le vecteur e N pointera
systématiquement vers l’axe des x c’est-àdire vers la région où n est maximum.
3.3. (1 − X )
a
≈ 1 − aX si |X | | 1.
Or,
n 1 − n 2
n 1
1 et |y| < a. On a donc :
n(y) ≈ n 1 (1 − Ay
2 ) avec A =
n 1 − n 2
n 1 a 2 .
3.4. ds =
dx 2 1 dy 2 ≈ dx si |dy/dx| | 1. La tangente aux rayons doit donc faire
un angle faible avec l’axe optique (conditions de Gauss). Pratiquement, ceci implique que
l’angle d’incidence Q, à l’entrée de la fibre, soit faible.
3.5. Comme ds ≈ dx, on peut écrire :
u =
dx
ds
e x 1
dy
ds
e y ≈ e x 1
dy
dx
e y
D’autre part,
d(n u )
ds
=
− − →
grad n. On a donc :
d(n u )
ds
≈
d(n u )
dx
= n
d u
dx
= n
d
2 y
dx 2 e y =
− − →
grad n =
dn
dy
e y
D’où n
d
2 y
dx 2 =
dn
dy
. Soit
d
2 y
dx 2 = f (n)
dn
dy
avec f (n) = 1/n.
3.6. On a, d’après la question 3.3,
dn
dy
= −2An 1 y. Ce qui entraîne
d
2 y
dx 2 =
1
n
dn
dy
=
1
n 1 (1 − Ay 2 )
dn
dy
≈
1
n 1
dn
dy
= −2Ay et, finalement :
d
2 y
dx 2 1 By = 0
avec
B = 2A = 2
n 1 − n 2
n 1 a 2
3.7. La solution générale de l’équation précédente s’écrit y(x) = a sin(
√
Bx)1b cos(
√
Bx).
Le rayon étant injecté en O sous l’angle Q, on a y(0) = 0 soit b = 0.
De plus, la relation n 0 sin Q = n 1 sin Q
conduit, avec Q et Q
petits, à n 0 Q ≈ n 1 Q
.
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2.2.2.f. La diffraction n’intervient pratiquement pas ici car le paramètre l/a est très
petit devant 1 (l/a ≈ 0, 02). Ceci justifie le traitement précédent à l’aide de l’optique
géométrique.
n (y)
n 1
a
b
y
– a
– b
n 2
1
3.1. Voir figure ci-contre.
3.2. D’après la question 1.3.b), le rayon
lumineux a sa concavité orientée vers les
n croissants. Ainsi, le vecteur e N pointera
systématiquement vers l’axe des x c’est-àdire vers la région où n est maximum.
3.3. (1 − X )
a
≈ 1 − aX si |X | | 1.
Or,
n 1 − n 2
n 1
1 et |y| < a. On a donc :
n(y) ≈ n 1 (1 − Ay
2 ) avec A =
n 1 − n 2
n 1 a 2 .
3.4. ds =
dx 2 1 dy 2 ≈ dx si |dy/dx| | 1. La tangente aux rayons doit donc faire
un angle faible avec l’axe optique (conditions de Gauss). Pratiquement, ceci implique que
l’angle d’incidence Q, à l’entrée de la fibre, soit faible.
3.5. Comme ds ≈ dx, on peut écrire :
u =
dx
ds
e x 1
dy
ds
e y ≈ e x 1
dy
dx
e y
D’autre part,
d(n u )
ds
=
− − →
grad n. On a donc :
d(n u )
ds
≈
d(n u )
dx
= n
d u
dx
= n
d
2 y
dx 2 e y =
− − →
grad n =
dn
dy
e y
D’où n
d
2 y
dx 2 =
dn
dy
. Soit
d
2 y
dx 2 = f (n)
dn
dy
avec f (n) = 1/n.
3.6. On a, d’après la question 3.3,
dn
dy
= −2An 1 y. Ce qui entraîne
d
2 y
dx 2 =
1
n
dn
dy
=
1
n 1 (1 − Ay 2 )
dn
dy
≈
1
n 1
dn
dy
= −2Ay et, finalement :
d
2 y
dx 2 1 By = 0
avec
B = 2A = 2
n 1 − n 2
n 1 a 2
3.7. La solution générale de l’équation précédente s’écrit y(x) = a sin(
√
Bx)1b cos(
√
Bx).
Le rayon étant injecté en O sous l’angle Q, on a y(0) = 0 soit b = 0.
De plus, la relation n 0 sin Q = n 1 sin Q
conduit, avec Q et Q
petits, à n 0 Q ≈ n 1 Q
.
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