solutions des exercices
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En reportant dans l’équation (143), on obtient les 3 équations suivantes :
sur e r
¨ r − r( ˙
u)
2 =
q
m
r ˙
uB z
(147)
sur e u
2˙ r ˙
u 1 r ¨ u =
q
m
(˙ zB r − ˙
rB z )
(148)
sur e z
¨ z =
q
m
−r ˙
uB r
(149)
v
v Z
v
z
z'
Rappelons que q = −e.
6.3. v
2 = v
2
0 = v
2
z 1 v
2
⊥ = v
2
z (1 1 tan
2 a).
Or, tan a 1. Donc v 0 ≈ v z =
dz
dt
.
6.4. Dérivons la quantité r
2 ˙
u par rapport
au temps :
d
dt
r
2 ˙
u
= 2r ˙
r ˙
u 1 r
2 ¨ u = r(2˙ r ˙
u 1 r ¨ u) =
q
m
(r ˙
zB r − r ˙
rB z )
(150)
(On a utilisé l’équation (148)). D’autre part, d’après l’énoncé :
B r = −
r
2
≠B z
≠z
=⇒
r ˙
zB r − r ˙
rB z = r ˙
z
−
r
2
≠B z
≠z
− r ˙
rB z
(151)
= −
1
2
r
2 ≠B z
≠z
dz
dt
1 2r ˙
rB z
= −
1
2
r
2 dB z
dt
1
dr
2
dt
B z
(152)
= −
1
2
d
dt
r
2 B z
(153)
Finalement :
d
dt
r
2 ˙
u
= −
q
2m
d
dt
r
2 B z
= K
d
dt
r
2 B z
(154)
avec K =
e
2m
. En intégrant par rapport au temps avec ˙
u = 0 si B = 0, on a :
r
2 ˙
u =
e
2m
r
2 B z =⇒ ˙
u =
e
2m
B z
(155)
6.5.a. Les équations (147) et (155) donnent :
¨ r = −
re
2
4m 2 B
2
z
(156)
6. OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
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