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7. L’étude du spectre de Fourier des vibrations sismiques montre que leurs périodes
se répartissent sur une gamme qui va de 0,1 s à 100 s. En fait, l’essentiel de l’énergie
transportée par des ondes longitudinales, assez loin de l’épicentre, est dans le domaine
de période allant de 1 s à 10 s. On souhaite une réponse uniforme de l’appareil dans la
gamme de fréquence correspondante. Quel régime de fonctionnement doit-on choisir ?
Quel en est l’inconvénient majeur ? Comment doit-on choisir la masse ?
Exercice 17 Modèle du dipôle oscillant
Ce problème requiert la connaissance des régimes libre et permanent sinusoïdal d’un
oscillateur ; il développe un modèle classique de polarisation atomique et d’interaction
matière rayonnement qu’il est nécessaire de connaître.
Un atome neutre comporte Z électrons de masse m, de charge q = −e, et un noyau de
masse M m. Ce dernier est supposé immobile et se trouve au point O. On repère
par
− − →
OM = − → r la position d’un des électrons. Pour un atome isolé, la symétrie impose
à la position moyenne d’un électron d’être nulle : − → r =
− →
0 . Cette situation peut être
obtenue de manière stable si l’électron est soumis à une force centrale de rappel élastique
− →
F c = −k − → r et à une force d’amortissement
− →
f = −mG
d − → r
dt
.
1. Écrire l’équation différentielle en − → r satisfaite par l’électron lorsque celui-ci est soumis,
en plus des forces définies ci-dessus à une force extérieure
− →
F . Définir la pulsation propre
v 0 de l’oscillateur constitué par l’ensemble de l’atome et de l’électron.
2. Régime statique : on s’intéresse à l’évolution du dipôle électrique
− →
p associé au
déplacement d’un seul électron de l’atome :
− →
p = q − → r . Exprimer en fonction de G, v 0 ,
− →
E , q et m, l’équation différentielle à laquelle obéit
− →
p lorsque la force
− →
F est due à un
champ électrique extérieur
− →
E .
3. Régime transitoire : à t = 0, le champ
− →
E passe instantanément de
− →
0 à
− →
E 0 constant
(figure suivante). On cherche le comportement de
− →
p pour t 0.
a. Montrer qu’il existe une solution particulière stationnaire (
− →
p 0 indépendante du temps)
de l’équation différentielle obtenue. Exprimer alors, en fonction de q, m, v 0 , la polarisabilité statique a 0 définie par
− →
p 0 = a 0
− →
E 0 .
0
E 0
E
t
b. Dans l’hypothèse où G v 0 et en négligeant les termes d’ordre
G
v 0
2
devant 1,
écrire (en revenant à une expression réelle)
l’évolution de
− →
p en fonction du temps (et
de G, v 0 et
− →
p 0 ) supposant que
−
→
p =
− →
0 et
d
− →
p
dt
=
− →
0 à t = 0. Selon quel régime le
1. MÉCANIQUE
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7. L’étude du spectre de Fourier des vibrations sismiques montre que leurs périodes
se répartissent sur une gamme qui va de 0,1 s à 100 s. En fait, l’essentiel de l’énergie
transportée par des ondes longitudinales, assez loin de l’épicentre, est dans le domaine
de période allant de 1 s à 10 s. On souhaite une réponse uniforme de l’appareil dans la
gamme de fréquence correspondante. Quel régime de fonctionnement doit-on choisir ?
Quel en est l’inconvénient majeur ? Comment doit-on choisir la masse ?
Exercice 17 Modèle du dipôle oscillant
Ce problème requiert la connaissance des régimes libre et permanent sinusoïdal d’un
oscillateur ; il développe un modèle classique de polarisation atomique et d’interaction
matière rayonnement qu’il est nécessaire de connaître.
Un atome neutre comporte Z électrons de masse m, de charge q = −e, et un noyau de
masse M m. Ce dernier est supposé immobile et se trouve au point O. On repère
par
− − →
OM = − → r la position d’un des électrons. Pour un atome isolé, la symétrie impose
à la position moyenne d’un électron d’être nulle : − → r =
− →
0 . Cette situation peut être
obtenue de manière stable si l’électron est soumis à une force centrale de rappel élastique
− →
F c = −k − → r et à une force d’amortissement
− →
f = −mG
d − → r
dt
.
1. Écrire l’équation différentielle en − → r satisfaite par l’électron lorsque celui-ci est soumis,
en plus des forces définies ci-dessus à une force extérieure
− →
F . Définir la pulsation propre
v 0 de l’oscillateur constitué par l’ensemble de l’atome et de l’électron.
2. Régime statique : on s’intéresse à l’évolution du dipôle électrique
− →
p associé au
déplacement d’un seul électron de l’atome :
− →
p = q − → r . Exprimer en fonction de G, v 0 ,
− →
E , q et m, l’équation différentielle à laquelle obéit
− →
p lorsque la force
− →
F est due à un
champ électrique extérieur
− →
E .
3. Régime transitoire : à t = 0, le champ
− →
E passe instantanément de
− →
0 à
− →
E 0 constant
(figure suivante). On cherche le comportement de
− →
p pour t 0.
a. Montrer qu’il existe une solution particulière stationnaire (
− →
p 0 indépendante du temps)
de l’équation différentielle obtenue. Exprimer alors, en fonction de q, m, v 0 , la polarisabilité statique a 0 définie par
− →
p 0 = a 0
− →
E 0 .
0
E 0
E
t
b. Dans l’hypothèse où G v 0 et en négligeant les termes d’ordre
G
v 0
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devant 1,
écrire (en revenant à une expression réelle)
l’évolution de
− →
p en fonction du temps (et
de G, v 0 et
− →
p 0 ) supposant que
−
→
p =
− →
0 et
d
− →
p
dt
=
− →
0 à t = 0. Selon quel régime le
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