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– Oxyz : référentiel R S solidaire du bâti et lié au sol. Il est animé, sous l’effet d’un
tremblement de terre, d’un mouvement par rapport au référentiel galiléen du lieu.
Un tremblement de terre est modélisé en notation complexe par une vibration verticale
harmonique de translation exprimée dans GXYZ :
S(t) = S 0 exp(ivt)
(S 0 réel)
où S(t) repère le déplacement vertical du sol par rapport au référentiel galiléen du lieu.
∗ h 0 est la hauteur de l’extrémité inférieure du ressort à vide par rapport au sol, sans
tremblement de terre (S(t) = 0).
∗ h 1 repère la hauteur de la masse à l’équilibre par rapport au sol dans les mêmes conditions.
∗ h(t) est la hauteur de la masse par rapport au sol à un instant quelconque.
1. Trouver une relation entre m, g, k, h 0 , h 1 , au repos.
2. Exprimer en fonction de m, S o , v, t, − → u y la force d’inertie d’entraînement, à ajouter aux
autres forces dans le référentiel lié au sol (associé à Oxyz) en présence du tremblement de
terre défini plus haut.
3. On pose H (t) = h(t) − h 1 , grandeur qui repère le déplacement de la masse par rapport
au repos dans Oxyz. Établir l’équation différentielle en H (t) du mouvement de la masse
en utilisant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel non galiléen.
Définir la pulsation propre v 0 et le temps de relaxation t. Indiquer leur sens physique.
4. Définir le régime permanent sinusoïdal. Exprimer l’amplitude complexe H a (v) des
vibrations de la masse en fonction de S 0 , v 0 , t, et v. Préciser le déphasage c entre S(t) et
H (t). Commenter.
5. Étude de la réponse en fréquence.
a. À quelle condition le module de l’amplitude |H a (v)| présente-t-il un pic ? À quelle
pulsation v r cela se produit-il ? Que valent alors le déphasage c r entre S(t) et H (t) et
l’amplitude maximale |H a (v r )|. Commenter.
b. Discuter le comportement de la réponse |H a (v)| et de c(v) à basse, puis à haute
fréquence ; quelle en est la signification physique ?
c. Donner l’allure des deux types de courbes représentant le module |H a (v)| et le
déphasage c(v) en fonction de v ; interpréter ces courbes.
6. Limite d’un oscillateur faiblement amorti v 0 t 1. Montrer que Q = v 0 t mesure
(à l’ordre le plus bas) la valeur au pic de l’amplitude relativement à S 0 . Dans quelles
conditions un phénomène analogue est-il rencontré en électricité ?
À quelle fréquence v r se produit le pic en amplitude si Q 1 (à l’ordre 0 en
1
Q
). Écrire
l’équation permettant de définir les fréquences de coupure, par |H a (v)| =
|H a (v r )|
√
2
et la
résoudre. Donner l’expression des fréquences de coupure en fonction de v 0 et Q, à l’ordre
1 en
1
Q
. En déduire l’expression de la largeur du pic en fonction de v 0 et Q. Commenter.
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– Oxyz : référentiel R S solidaire du bâti et lié au sol. Il est animé, sous l’effet d’un
tremblement de terre, d’un mouvement par rapport au référentiel galiléen du lieu.
Un tremblement de terre est modélisé en notation complexe par une vibration verticale
harmonique de translation exprimée dans GXYZ :
S(t) = S 0 exp(ivt)
(S 0 réel)
où S(t) repère le déplacement vertical du sol par rapport au référentiel galiléen du lieu.
∗ h 0 est la hauteur de l’extrémité inférieure du ressort à vide par rapport au sol, sans
tremblement de terre (S(t) = 0).
∗ h 1 repère la hauteur de la masse à l’équilibre par rapport au sol dans les mêmes conditions.
∗ h(t) est la hauteur de la masse par rapport au sol à un instant quelconque.
1. Trouver une relation entre m, g, k, h 0 , h 1 , au repos.
2. Exprimer en fonction de m, S o , v, t, − → u y la force d’inertie d’entraînement, à ajouter aux
autres forces dans le référentiel lié au sol (associé à Oxyz) en présence du tremblement de
terre défini plus haut.
3. On pose H (t) = h(t) − h 1 , grandeur qui repère le déplacement de la masse par rapport
au repos dans Oxyz. Établir l’équation différentielle en H (t) du mouvement de la masse
en utilisant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel non galiléen.
Définir la pulsation propre v 0 et le temps de relaxation t. Indiquer leur sens physique.
4. Définir le régime permanent sinusoïdal. Exprimer l’amplitude complexe H a (v) des
vibrations de la masse en fonction de S 0 , v 0 , t, et v. Préciser le déphasage c entre S(t) et
H (t). Commenter.
5. Étude de la réponse en fréquence.
a. À quelle condition le module de l’amplitude |H a (v)| présente-t-il un pic ? À quelle
pulsation v r cela se produit-il ? Que valent alors le déphasage c r entre S(t) et H (t) et
l’amplitude maximale |H a (v r )|. Commenter.
b. Discuter le comportement de la réponse |H a (v)| et de c(v) à basse, puis à haute
fréquence ; quelle en est la signification physique ?
c. Donner l’allure des deux types de courbes représentant le module |H a (v)| et le
déphasage c(v) en fonction de v ; interpréter ces courbes.
6. Limite d’un oscillateur faiblement amorti v 0 t 1. Montrer que Q = v 0 t mesure
(à l’ordre le plus bas) la valeur au pic de l’amplitude relativement à S 0 . Dans quelles
conditions un phénomène analogue est-il rencontré en électricité ?
À quelle fréquence v r se produit le pic en amplitude si Q 1 (à l’ordre 0 en
1
Q
). Écrire
l’équation permettant de définir les fréquences de coupure, par |H a (v)| =
|H a (v r )|
√
2
et la
résoudre. Donner l’expression des fréquences de coupure en fonction de v 0 et Q, à l’ordre
1 en
1
Q
. En déduire l’expression de la largeur du pic en fonction de v 0 et Q. Commenter.
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