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continûment de la valeur n = n 1 sur l’axe optique, à la valeur n 2 pour y = a. La
technologie actuelle permet d’obtenir la fonction :
n = n(y) = n 1
1 −
2(n 1 − n 2 )y
2
n 1 .a 2
1/2
D’autre part, l’équation vectorielle de la trajectoire d’un rayon lumineux S est :
d(n u )
ds
=
− − →
grad n
où s est l’abscisse curviligne d’un point M de la trajectoire suivie par la lumière et u le
vecteur unitaire tangent en M au rayon (orienté dans le sens de propagation). La lumière
utilisée est toujours monochromatique (longueur d’onde l).
Données : n 0 = 1, 000 ; n 1 = 1, 520 ; n 2 = 1, 480 ; a = 30 mm.
3.1. Tracer, qualitativement, n(y), y variant de −∞ à 1∞.
3.2. On utilise le résultat de la question 1.3.b. Vers quelle région de la fibre le vecteur e N
est-il dirigé ?
3.3. Sachant que l’on a
(n 1 − n 2 )
n 1
1, montrer que n(y) peut se mettre sous la forme
n(y) ≈ n 1 (1 − Ay
2 ) où A est une constante que l’on déterminera.
3.4. Sous quelle condition peut-on, en première approximation, écrire ds ≈ dx.
Cette approximation sera utilisée dans toute la suite du problème.
3.5. Sachant que u = (dx/ds) e x 1 (dy/ds) e y , montrer que d
2 y/dx
2 se met sous la forme
d
2 y/dx
2 = f (n).(dn/dy). Déterminer la fonction f (n).
3.6. Enfin, en négligeant le terme non linéaire Ay
2 , on obtient une équation différentielle
de la forme d
2 y/dx
2 1 By = 0 où B est une constante que l’on déterminera.
3.7. Intégrer cette dernière équation différentielle.
3.8. Déterminer les abscisses des points d’intersection de S avec l’axe Ox, en fonction de
B. Dépendent-elles de Q ?
3.9. On fait arriver en O un rayon lumineux sous l’incidence Q = 10
−2 rad. Calculer le
rapport |y M /a|, y M étant l’ordonnée d’un point de S où le vecteur − → u est parallèle à l’axe
Ox. Conclure.
3.10. Représenter les trajectoires, dans la fibre, de quelques rayons lumineux correspondant à 0 Q Q 0 .
3.11. D’après ce modèle, quel avantage présente l’utilisation des fibres à gradient d’indice
par rapport aux fibres à saut d’indice ?
4. Absorption dans les fibres optiques : l’atténuation de la lumière dans ces fibres est due à
l’absorption et à la diffusion des photons par le matériau. La loi se traduit par la formule :
S = (10/x). log(F 0 /F(x))
où S est l’atténuation (en dB/km), x la distance axiale parcourue depuis O et F 0 et F(x)
les flux lumineux traversant les plans d’équation x = 0 et x.
4.1. Calculer S si, après un parcours de 25 km, le flux lumineux se trouve divisé par 10.
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continûment de la valeur n = n 1 sur l’axe optique, à la valeur n 2 pour y = a. La
technologie actuelle permet d’obtenir la fonction :
n = n(y) = n 1
1 −
2(n 1 − n 2 )y
2
n 1 .a 2
1/2
D’autre part, l’équation vectorielle de la trajectoire d’un rayon lumineux S est :
d(n u )
ds
=
− − →
grad n
où s est l’abscisse curviligne d’un point M de la trajectoire suivie par la lumière et u le
vecteur unitaire tangent en M au rayon (orienté dans le sens de propagation). La lumière
utilisée est toujours monochromatique (longueur d’onde l).
Données : n 0 = 1, 000 ; n 1 = 1, 520 ; n 2 = 1, 480 ; a = 30 mm.
3.1. Tracer, qualitativement, n(y), y variant de −∞ à 1∞.
3.2. On utilise le résultat de la question 1.3.b. Vers quelle région de la fibre le vecteur e N
est-il dirigé ?
3.3. Sachant que l’on a
(n 1 − n 2 )
n 1
1, montrer que n(y) peut se mettre sous la forme
n(y) ≈ n 1 (1 − Ay
2 ) où A est une constante que l’on déterminera.
3.4. Sous quelle condition peut-on, en première approximation, écrire ds ≈ dx.
Cette approximation sera utilisée dans toute la suite du problème.
3.5. Sachant que u = (dx/ds) e x 1 (dy/ds) e y , montrer que d
2 y/dx
2 se met sous la forme
d
2 y/dx
2 = f (n).(dn/dy). Déterminer la fonction f (n).
3.6. Enfin, en négligeant le terme non linéaire Ay
2 , on obtient une équation différentielle
de la forme d
2 y/dx
2 1 By = 0 où B est une constante que l’on déterminera.
3.7. Intégrer cette dernière équation différentielle.
3.8. Déterminer les abscisses des points d’intersection de S avec l’axe Ox, en fonction de
B. Dépendent-elles de Q ?
3.9. On fait arriver en O un rayon lumineux sous l’incidence Q = 10
−2 rad. Calculer le
rapport |y M /a|, y M étant l’ordonnée d’un point de S où le vecteur − → u est parallèle à l’axe
Ox. Conclure.
3.10. Représenter les trajectoires, dans la fibre, de quelques rayons lumineux correspondant à 0 Q Q 0 .
3.11. D’après ce modèle, quel avantage présente l’utilisation des fibres à gradient d’indice
par rapport aux fibres à saut d’indice ?
4. Absorption dans les fibres optiques : l’atténuation de la lumière dans ces fibres est due à
l’absorption et à la diffusion des photons par le matériau. La loi se traduit par la formule :
S = (10/x). log(F 0 /F(x))
où S est l’atténuation (en dB/km), x la distance axiale parcourue depuis O et F 0 et F(x)
les flux lumineux traversant les plans d’équation x = 0 et x.
4.1. Calculer S si, après un parcours de 25 km, le flux lumineux se trouve divisé par 10.
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