i
i
i
i
i
i
i
i
x
y
z
z
z'
O
e z
e r
r
e
M
Hors du champ B, un électron a un mouvement rectiligne uniforme. L’angle a entre
l’axe z
z et le vecteur vitesse de l’électron est
toujours très faible.
La vitesse des électrons est-elle modifiée par
la lentille magnétique ?
Soient r(t), u(t), z(t) les coordonnées d’un
électron à l’instant t. Déduire du principe
fondamental de la dynamique, par projection
respectivement sur e r , e u , e z , trois équations différentielles notées (1),(2),(3).
6.3. Déduire des hypothèses faites précédemment que l’on peut confondre
dz
dt
avec v 0 .
6.4. Montrer que (2) peut s’écrire :
d
dt
r
2 du
dt
= K
d
dt
(r
2 B z )
K étant fonction de e et m. En déduire
du
dt
en fonction de e, m et B z sachant que
du
dt
est
nulle hors du champ.
6.5.a. Compte tenu des résultats précédents, transformer (1) en une équation différentielle
en r(z).
6.5.b. On suppose que la lentille crée un champ magnétique nul partout sauf entre les
cotes z(O 1 ) = z 1 et z(O 2 ) = z 2 . Un électron incident ayant coupé l’axe en A sous l’angle
a = a 1 , est dévié par la lentille et recoupe l’axe en A
sous l’angle a = a 2 . La lentille est
supposée mince. Remarquant que
dr
dz
= tana, exprimer la quantité tana 2 − tana 1 en
fonction de
S =
z 2
z 1
rB
2
z dz
et préciser son signe. En déduire si la lentille est convergente ou divergente.
6.5.c. La lentille étant mince, on admet que r reste pratiquement constant et égal à r 1
pour z compris entre z 1 et z 2 . On pose p = O 1 A ≈ OA et p
= O 2 A ≈ OA , O étant
le milieu de O 1 O 2 . Établir l’expression de :
1
p −
1
p
en fonction de S, e, m, v 0 , r 1 . Évaluer la distance focale f
de la lentille en supposant
B z = B 1 constant entre z 1 et z 2 . A.N. : z 2 − z 1 = 5 mm ; B 1 = 10
−2 T. Calculer f
.
6.6. Limite de résolution du microscope électronique
Selon la mécanique ondulatoire, quelle est la longueur d’onde l associée à une particule
non relativiste de masse m et de vitesse v 0 ?
La limite de résolution de l’objectif du microscope électronique étant donnée par la
relation d e = 0, 61l/ sin u 0 , calculer d e si u 0 = 10
−2 rad. On prendra la constante de
Planck égale à 6, 6.10
−34 u SI et on précisera son unité.
6. OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
495
i
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y
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z'
O
e z
e r
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Hors du champ B, un électron a un mouvement rectiligne uniforme. L’angle a entre
l’axe z
z et le vecteur vitesse de l’électron est
toujours très faible.
La vitesse des électrons est-elle modifiée par
la lentille magnétique ?
Soient r(t), u(t), z(t) les coordonnées d’un
électron à l’instant t. Déduire du principe
fondamental de la dynamique, par projection
respectivement sur e r , e u , e z , trois équations différentielles notées (1),(2),(3).
6.3. Déduire des hypothèses faites précédemment que l’on peut confondre
dz
dt
avec v 0 .
6.4. Montrer que (2) peut s’écrire :
d
dt
r
2 du
dt
= K
d
dt
(r
2 B z )
K étant fonction de e et m. En déduire
du
dt
en fonction de e, m et B z sachant que
du
dt
est
nulle hors du champ.
6.5.a. Compte tenu des résultats précédents, transformer (1) en une équation différentielle
en r(z).
6.5.b. On suppose que la lentille crée un champ magnétique nul partout sauf entre les
cotes z(O 1 ) = z 1 et z(O 2 ) = z 2 . Un électron incident ayant coupé l’axe en A sous l’angle
a = a 1 , est dévié par la lentille et recoupe l’axe en A
sous l’angle a = a 2 . La lentille est
supposée mince. Remarquant que
dr
dz
= tana, exprimer la quantité tana 2 − tana 1 en
fonction de
S =
z 2
z 1
rB
2
z dz
et préciser son signe. En déduire si la lentille est convergente ou divergente.
6.5.c. La lentille étant mince, on admet que r reste pratiquement constant et égal à r 1
pour z compris entre z 1 et z 2 . On pose p = O 1 A ≈ OA et p
= O 2 A ≈ OA , O étant
le milieu de O 1 O 2 . Établir l’expression de :
1
p −
1
p
en fonction de S, e, m, v 0 , r 1 . Évaluer la distance focale f
de la lentille en supposant
B z = B 1 constant entre z 1 et z 2 . A.N. : z 2 − z 1 = 5 mm ; B 1 = 10
−2 T. Calculer f
.
6.6. Limite de résolution du microscope électronique
Selon la mécanique ondulatoire, quelle est la longueur d’onde l associée à une particule
non relativiste de masse m et de vitesse v 0 ?
La limite de résolution de l’objectif du microscope électronique étant donnée par la
relation d e = 0, 61l/ sin u 0 , calculer d e si u 0 = 10
−2 rad. On prendra la constante de
Planck égale à 6, 6.10
−34 u SI et on précisera son unité.
6. OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
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