i
i
i
i
i
i
i
i
de sa vitesse :
− →
F (
− →
V ) = −h(V )
− →
V où h(V ) est
une fonction positive de
− →
V
uniquement. On
supposera cette force très petite devant la force
d’attraction gravitationnelle.
r
V
R
1. Montrer que l’énergie mécanique E du satellite dans le champ de pesanteur de l’astre diminue à cause de la force de frottements. Exprimer
dE
dt
en fonction de V et de h(V ).
2. Quelle relation a-t-on entre la vitesse V et le
rayon r ? Quelle relation peut-on déduire entre
dV
dt
et
dr
dt
? Compte tenu de la relation établie
au 1, exprimer
dV
dt
en fonction de V et de h(V ).
Comment varient V et r ? Commenter.
Exercice 15 Diffusion coulombienne : déviation d’une particule a
par un noyau d’or
On étudie dans un référentiel galiléen associé à un noyau d’or considéré comme cible, de
masse M et de charge Q = Zq e , le mouvement d’une particule a, de charge ponctuelle q
de masse m, soumise à la seule force coulombienne. La position de la particule est repérée
par
− − →
OM = r − → u r . O, centre des forces est la cible ; on pose k =
qZq e
4p´ 0
1. Montrer qu’il est légitime de négliger les forces gravitationnelles devant les forces
coulombiennes.
S
O
x
D
b
y
2. En comparant qualitativement m et M, justifier l’approximation consistant à traiter le problème comme si
la cible était immobile.
3. On repère le point M dans le plan de sa trajectoire par ses coordonnées polaires r et u. Montrer que
r
2 ˙
u = C, constante.
L’axe polaire étant orienté selon les conventions du
schéma, montrer que la particule a décrit alors une
branche d’hyperbole dont l’équation peut s’écrire :
r(u) =
p
cos u
cos b
− 1
48