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2. Trajectoires elliptiques : dans l’hypothèse où la trajectoire est fermée, trouver une
relation entre le demi grand axe a, p, et e. Le périgée P correspond à la distance minimale
à laquelle la particule s’approche du centre de force, l’apogée A à la distance maximale.
Montrer que l’énergie de la particule dans le champ de l’astre s’écrit très simplement en
fonction de K, M, m et du demi grand axe a de l’ellipse. Commenter.
Quelle relation simple existe-t-il entre les vitesses au périgée et à l’apogée V A et V P ?
3. Lois de Kepler : c’est historiquement à partir des lois de Kepler que les potentiels
newtoniens sont entrés dans la physique.
1
re loi : les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil est un foyer.
2
e loi : le rayon vecteur issu du Soleil balaie des aires égales pendant des durées égales.
3
e loi : les carrés des durées de révolution sont proportionnels aux cubes des grands axes
des orbites.
Commenter ces lois, après avoir démontré la troisième en toute généralité en vous servant
des relations précédemment établies.
Exercice 13 Satellites circulaires
1. Cas général ; satellites géostationnaires : calculer (en fonction de R, z, G o ) la vitesse
V et la période T d’un satellite de masse m suivant une trajectoire circulaire et gravitant à
l’altitude z autour d’un astre de rayon R, de champ G o en surface, la répartition de masse
de l’astre étant à symétrie sphérique. Calculer numériquement l’altitude d’un satellite
géostationnaire terrestre. Retrouver la troisième loi de Kepler dans ce cas particulier :
montrer que le rapport
(R 1 z)
3
T 2
s’exprime simplement en fonction de G o et R, puis de
la masse du centre attracteur M et de K (m M)
2. Satellites de Jupiter : on donne les rayons des orbites r et les périodes T pour les
quatre satellites galiléens de Jupiter (découverts par Galilée en 1610). En réalisant un
graphique, montrer que ces valeurs satisfont la troisième loi de Kepler. En déduire la
masse de Jupiter.
Nom du satellite
Distance de Jupiter en km
Période de révolution en j
Io
422 000
1,769
Europe
671 000
3,551
Ganymède
1 071 000
7,155
Callisto
1 884 000
16,69
Exercice 14 Effets des frottements atmosphériques sur un satellite
Un satellite gravite sur une orbite pratiquement circulaire, de rayon r autour d’un astre
de masse M, de rayon R. Il est de plus soumis à une force de frottement dépendant
1. MÉCANIQUE
47
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2. Trajectoires elliptiques : dans l’hypothèse où la trajectoire est fermée, trouver une
relation entre le demi grand axe a, p, et e. Le périgée P correspond à la distance minimale
à laquelle la particule s’approche du centre de force, l’apogée A à la distance maximale.
Montrer que l’énergie de la particule dans le champ de l’astre s’écrit très simplement en
fonction de K, M, m et du demi grand axe a de l’ellipse. Commenter.
Quelle relation simple existe-t-il entre les vitesses au périgée et à l’apogée V A et V P ?
3. Lois de Kepler : c’est historiquement à partir des lois de Kepler que les potentiels
newtoniens sont entrés dans la physique.
1
re loi : les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil est un foyer.
2
e loi : le rayon vecteur issu du Soleil balaie des aires égales pendant des durées égales.
3
e loi : les carrés des durées de révolution sont proportionnels aux cubes des grands axes
des orbites.
Commenter ces lois, après avoir démontré la troisième en toute généralité en vous servant
des relations précédemment établies.
Exercice 13 Satellites circulaires
1. Cas général ; satellites géostationnaires : calculer (en fonction de R, z, G o ) la vitesse
V et la période T d’un satellite de masse m suivant une trajectoire circulaire et gravitant à
l’altitude z autour d’un astre de rayon R, de champ G o en surface, la répartition de masse
de l’astre étant à symétrie sphérique. Calculer numériquement l’altitude d’un satellite
géostationnaire terrestre. Retrouver la troisième loi de Kepler dans ce cas particulier :
montrer que le rapport
(R 1 z)
3
T 2
s’exprime simplement en fonction de G o et R, puis de
la masse du centre attracteur M et de K (m M)
2. Satellites de Jupiter : on donne les rayons des orbites r et les périodes T pour les
quatre satellites galiléens de Jupiter (découverts par Galilée en 1610). En réalisant un
graphique, montrer que ces valeurs satisfont la troisième loi de Kepler. En déduire la
masse de Jupiter.
Nom du satellite
Distance de Jupiter en km
Période de révolution en j
Io
422 000
1,769
Europe
671 000
3,551
Ganymède
1 071 000
7,155
Callisto
1 884 000
16,69
Exercice 14 Effets des frottements atmosphériques sur un satellite
Un satellite gravite sur une orbite pratiquement circulaire, de rayon r autour d’un astre
de masse M, de rayon R. Il est de plus soumis à une force de frottement dépendant
1. MÉCANIQUE
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