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Exercice 11 Vitesse de libération
Soit une particule se trouvant à une distance r de O, en mouvement à la vitesse V . On
appelle vitesse de libération V l (r) de cette particule pour la distance r la vitesse minimale
qu’elle doit avoir pour pouvoir s’échapper à l’infini.
1. Calculer V l (r) en fonction de K, M, et r.
2. Calculer numériquement la vitesse de libération de la Terre sur son orbite dans le
champ de gravitation solaire. La comparer à sa vitesse de révolution autour du Soleil et
conclure.
3. Calculer numériquement la vitesse de libération d’un objet à la surface du globe dans le
champ de gravitation terrestre. La comparer à la vitesse moyenne d’agitation thermique
des molécules d’oxygène à 25
◦ C sous une pression de 1 atm. Conclure.
4. Approche classique du trou noir : rayon de Schwarzschild d’un astre. On se place à la
surface d’un astre de masse M donnée et de rayon R . Le premier postulat de la relativité
restreinte impose une limite supérieure à la vitesse de tout objet : v < c, où c est la célérité
de la lumière dans le vide.
a. Montrer que si R est inférieur à une certaine valeur R sc (rayon de Schwarzchild de
l’astre) que l’on exprimera en fonction de G, M et c, rien ne peut s’évader de la surface de
cet astre, y compris la lumière. On dit que l’astre est un trou noir.
b. Déterminer le rayon de Schwarzchild du Soleil.
c. Calculer la densité de matière d’un trou noir se trouvant à la limite de Schwarzchild.
La comparer à la densité de matière nucléaire. Pourquoi le Soleil ne peut-il pas devenir
un trou noir ?
Exercice 12 Lois de Kepler
1. Cas général : montrer que la trajectoire d’un point matériel plongé dans un potentiel
newtonien E p (r) = −
KmM
r
est une conique dont le centre de force est un des foyers,
c’est-à-dire que son équation en coordonnées polaires peut se mettre sous la forme (l’axe
polaire étant convenablement orienté) :
r =
p
1 1 e cos u
Calculer le paramètre p de la conique en fonction de la constante des aires C, de M et K.
e est l’excentricité de la conique. Un choix correct du sens de l’axe polaire permet de se
limiter à e > 0.
e = 0 : cercle de rayon p.
e = 1 : parabole.
e > 1 : hyperbole.
0 < e < 1 : ellipse.
Exprimer l’énergie mécanique du point en fonction de m, C, p, e ; commenter.
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Exercice 11 Vitesse de libération
Soit une particule se trouvant à une distance r de O, en mouvement à la vitesse V . On
appelle vitesse de libération V l (r) de cette particule pour la distance r la vitesse minimale
qu’elle doit avoir pour pouvoir s’échapper à l’infini.
1. Calculer V l (r) en fonction de K, M, et r.
2. Calculer numériquement la vitesse de libération de la Terre sur son orbite dans le
champ de gravitation solaire. La comparer à sa vitesse de révolution autour du Soleil et
conclure.
3. Calculer numériquement la vitesse de libération d’un objet à la surface du globe dans le
champ de gravitation terrestre. La comparer à la vitesse moyenne d’agitation thermique
des molécules d’oxygène à 25
◦ C sous une pression de 1 atm. Conclure.
4. Approche classique du trou noir : rayon de Schwarzschild d’un astre. On se place à la
surface d’un astre de masse M donnée et de rayon R . Le premier postulat de la relativité
restreinte impose une limite supérieure à la vitesse de tout objet : v < c, où c est la célérité
de la lumière dans le vide.
a. Montrer que si R est inférieur à une certaine valeur R sc (rayon de Schwarzchild de
l’astre) que l’on exprimera en fonction de G, M et c, rien ne peut s’évader de la surface de
cet astre, y compris la lumière. On dit que l’astre est un trou noir.
b. Déterminer le rayon de Schwarzchild du Soleil.
c. Calculer la densité de matière d’un trou noir se trouvant à la limite de Schwarzchild.
La comparer à la densité de matière nucléaire. Pourquoi le Soleil ne peut-il pas devenir
un trou noir ?
Exercice 12 Lois de Kepler
1. Cas général : montrer que la trajectoire d’un point matériel plongé dans un potentiel
newtonien E p (r) = −
KmM
r
est une conique dont le centre de force est un des foyers,
c’est-à-dire que son équation en coordonnées polaires peut se mettre sous la forme (l’axe
polaire étant convenablement orienté) :
r =
p
1 1 e cos u
Calculer le paramètre p de la conique en fonction de la constante des aires C, de M et K.
e est l’excentricité de la conique. Un choix correct du sens de l’axe polaire permet de se
limiter à e > 0.
e = 0 : cercle de rayon p.
e = 1 : parabole.
e > 1 : hyperbole.
0 < e < 1 : ellipse.
Exprimer l’énergie mécanique du point en fonction de m, C, p, e ; commenter.
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