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2. Cas de l’interaction gravitationnelle : l’interaction gravitationnelle donne lieu à
des forces centrales dérivant d’une énergie potentielle E p (r) = −
mk
r
(en adoptant la
convention d’une énergie potentielle nulle à l’infini). Dans un champ de gravitation, k est
toujours positif (k = K.M où K = 6, 67.10
−11 U.S.I et M la masse du centre attracteur).
On supposera dans toute la suite que le centre attracteur de masse M est fixe en O.
a. Montrer que W eff (r) présente un minimum W em pour une valeur de r qu’on notera r m .
Calculer r m et W em en fonction de C, m et k. Représenter la courbe donnant les variations
de W eff (r) en fonction de r. Dans quelle région est-il répulsif ? Discuter. Comment la
position du minimum évolue-t-elle avec C ? Quel est le sens physique de la position
r = r m ?
b. Montrer que si l’énergie mécanique est négative, le point M est confiné dans une
région limitée de l’espace comprise entre deux cercles de centre O, de rayons r 1 et r 2 ; en
termes énergétiques, on dit que la particule est confinée dans un puits de potentiel entre
deux barrières situées aux distances r 1 et r 2 du centre de force, ce qui correspond à des
états liés.
c. Montrer que si l’énergie mécanique est positive, la particule peut aller à l’infini.
Discuter.
Exercice 10 Potentiels newtoniens
L’énergie potentielle d’une particule a pour expression :
• E p (r) = −
mk
r
, dans un champ de gravitation avec k = K.M, où K = 6, 67.10
−11 U.S.I
et M est la masse du centre attractif ;
• E p (r) =
qk
r
pour un champ électrique statique avec k = Q(1/4p´ 0 ), où Q est la charge
du centre qui peut être attractif ou répulsif.
1. Propriétés générales du champ de gravitation : en vous basant sur la forme mathématique de chacune des interactions, dresser un tableau présentant les correspondances entre
champ de gravitation et champ électrique statique : forces, champs, potentiels, propriétés
du rotationnel et de la divergence, forme intégrale du théorème de Gauss, relation entre
énergies potentielles et potentiels.
2. Champ de gravitation d’un astre à symétrie sphérique à l’extérieur de celui-ci : étant
donné un astre de rayon R, dont la masse M est répartie selon la symétrie sphérique,
calculer la valeur de G à l’extérieur de l’astre (à une altitude z), G 0 étant la valeur du
champ à sa surface. Exprimer l’énergie potentielle d’interaction d’une particule de masse
m située à l’altitude z. Discuter le cas où z R.
3. Champ de gravitation d’un astre homogène à l’intérieur de celui-ci : en supposant
maintenant que la masse volumique de l’astre est une constante r, calculer le champ de
gravitation à l’intérieur de l’astre. Commenter.
1. MÉCANIQUE
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2. Cas de l’interaction gravitationnelle : l’interaction gravitationnelle donne lieu à
des forces centrales dérivant d’une énergie potentielle E p (r) = −
mk
r
(en adoptant la
convention d’une énergie potentielle nulle à l’infini). Dans un champ de gravitation, k est
toujours positif (k = K.M où K = 6, 67.10
−11 U.S.I et M la masse du centre attracteur).
On supposera dans toute la suite que le centre attracteur de masse M est fixe en O.
a. Montrer que W eff (r) présente un minimum W em pour une valeur de r qu’on notera r m .
Calculer r m et W em en fonction de C, m et k. Représenter la courbe donnant les variations
de W eff (r) en fonction de r. Dans quelle région est-il répulsif ? Discuter. Comment la
position du minimum évolue-t-elle avec C ? Quel est le sens physique de la position
r = r m ?
b. Montrer que si l’énergie mécanique est négative, le point M est confiné dans une
région limitée de l’espace comprise entre deux cercles de centre O, de rayons r 1 et r 2 ; en
termes énergétiques, on dit que la particule est confinée dans un puits de potentiel entre
deux barrières situées aux distances r 1 et r 2 du centre de force, ce qui correspond à des
états liés.
c. Montrer que si l’énergie mécanique est positive, la particule peut aller à l’infini.
Discuter.
Exercice 10 Potentiels newtoniens
L’énergie potentielle d’une particule a pour expression :
• E p (r) = −
mk
r
, dans un champ de gravitation avec k = K.M, où K = 6, 67.10
−11 U.S.I
et M est la masse du centre attractif ;
• E p (r) =
qk
r
pour un champ électrique statique avec k = Q(1/4p´ 0 ), où Q est la charge
du centre qui peut être attractif ou répulsif.
1. Propriétés générales du champ de gravitation : en vous basant sur la forme mathématique de chacune des interactions, dresser un tableau présentant les correspondances entre
champ de gravitation et champ électrique statique : forces, champs, potentiels, propriétés
du rotationnel et de la divergence, forme intégrale du théorème de Gauss, relation entre
énergies potentielles et potentiels.
2. Champ de gravitation d’un astre à symétrie sphérique à l’extérieur de celui-ci : étant
donné un astre de rayon R, dont la masse M est répartie selon la symétrie sphérique,
calculer la valeur de G à l’extérieur de l’astre (à une altitude z), G 0 étant la valeur du
champ à sa surface. Exprimer l’énergie potentielle d’interaction d’une particule de masse
m située à l’altitude z. Discuter le cas où z R.
3. Champ de gravitation d’un astre homogène à l’intérieur de celui-ci : en supposant
maintenant que la masse volumique de l’astre est une constante r, calculer le champ de
gravitation à l’intérieur de l’astre. Commenter.
1. MÉCANIQUE
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