i
i
i
i
i
i
i
i
b. Pour un avion de même masse se déplaçant d’Ouest en Est le long d’un parallèle à la
vitesse de 600 km/h. Cette force dépend-elle de l’altitude à laquelle vole l’avion ?
3. Déviation lors d’une chute libre (déviation « vers l’Est ») : À t = 0, le point
matériel M est lâché sans vitesse initiale d’un point M 0 de l’axe Oz, d’altitude h. Écrire
les équations différentielles en x(t), y(t), z(t) de son mouvement en tenant compte de la
force d’inertie de Coriolis et en admettant que − → g est uniforme.
a. Après avoir intégré les équations permettant de calculer dy/dt et dz/dt, établir une
équation différentielle en x(t) et l’intégrer en tenant compte des conditions initiales.
b. Supposant Vt 1, montrer que x est proportionnel au cube du temps de chute.
Montrer que y x.
c. Exprimer alors la valeur de la déviation x due à la force d’inertie de Coriolis en fonction
de h et de l, et la calculer pour h = 100 m en un lieu où la latitude est 45
◦ ; commenter.
Forces centrales et potentiels newtoniens
Les exercices proposés dans cette partie s’enchaînent comme un problème qui traite les
mouvements dans des champs de forces centrales (pratiquement, l’ensemble constitue un
cours) ; on aura avantage à les traiter dans l’ordre dans lequel ils sont proposés.
Dans les exercices suivants, on utilisera les données astronomiques :
Terre : rayon R T = 6 400 km ; masse M T = 6.10
24 kg
Lune : rayon R L = 1740 km ; masse M L = 7.10
22 kg
Soleil : rayon R S = 7.10
5 km ; masse M S = 2.10
30 kg
Constante de gravitation : K = 6, 67.10
−11 U.S.I.
Distance moyenne Terre-Lune : d TL = 385 000 km
Distance moyenne Terre-Soleil : d TS = 150.10
6 km
Exercice 9
Lois de conservation. Énergie potentielle effective
1. Cas général : un point matériel M, de masse m est soumis à une force centrale
− − →
F(r) = f (r) − → u r où − → u r = − → r / − → r avec − → r =
− − →
OM. Son mouvement est décrit par
rapport à un référentiel galiléen.
Montrer que le moment cinétique en O − →
s O du point matériel est une intégrale première
du mouvement (c’est-à-dire qu’il est conservatif ). En déduire que le mouvement est plan.
Montrer alors que l’énergie mécanique est aussi intégrale première du mouvement et peut
s’écrire en fonction de la seule variable r :
E(r) =
1
2
m
dr
dt
2
1 W eff (r)
où W eff (r) s’exprime en fonction de E p (r), m, C, r et de la constante des aires C =
− →
s O
m
.
Quel est son sens physique ? Quel est le sens physique de
1
2
m
dr
dt
2
?
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i
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b. Pour un avion de même masse se déplaçant d’Ouest en Est le long d’un parallèle à la
vitesse de 600 km/h. Cette force dépend-elle de l’altitude à laquelle vole l’avion ?
3. Déviation lors d’une chute libre (déviation « vers l’Est ») : À t = 0, le point
matériel M est lâché sans vitesse initiale d’un point M 0 de l’axe Oz, d’altitude h. Écrire
les équations différentielles en x(t), y(t), z(t) de son mouvement en tenant compte de la
force d’inertie de Coriolis et en admettant que − → g est uniforme.
a. Après avoir intégré les équations permettant de calculer dy/dt et dz/dt, établir une
équation différentielle en x(t) et l’intégrer en tenant compte des conditions initiales.
b. Supposant Vt 1, montrer que x est proportionnel au cube du temps de chute.
Montrer que y x.
c. Exprimer alors la valeur de la déviation x due à la force d’inertie de Coriolis en fonction
de h et de l, et la calculer pour h = 100 m en un lieu où la latitude est 45
◦ ; commenter.
Forces centrales et potentiels newtoniens
Les exercices proposés dans cette partie s’enchaînent comme un problème qui traite les
mouvements dans des champs de forces centrales (pratiquement, l’ensemble constitue un
cours) ; on aura avantage à les traiter dans l’ordre dans lequel ils sont proposés.
Dans les exercices suivants, on utilisera les données astronomiques :
Terre : rayon R T = 6 400 km ; masse M T = 6.10
24 kg
Lune : rayon R L = 1740 km ; masse M L = 7.10
22 kg
Soleil : rayon R S = 7.10
5 km ; masse M S = 2.10
30 kg
Constante de gravitation : K = 6, 67.10
−11 U.S.I.
Distance moyenne Terre-Lune : d TL = 385 000 km
Distance moyenne Terre-Soleil : d TS = 150.10
6 km
Exercice 9
Lois de conservation. Énergie potentielle effective
1. Cas général : un point matériel M, de masse m est soumis à une force centrale
− − →
F(r) = f (r) − → u r où − → u r = − → r / − → r avec − → r =
− − →
OM. Son mouvement est décrit par
rapport à un référentiel galiléen.
Montrer que le moment cinétique en O − →
s O du point matériel est une intégrale première
du mouvement (c’est-à-dire qu’il est conservatif ). En déduire que le mouvement est plan.
Montrer alors que l’énergie mécanique est aussi intégrale première du mouvement et peut
s’écrire en fonction de la seule variable r :
E(r) =
1
2
m
dr
dt
2
1 W eff (r)
où W eff (r) s’exprime en fonction de E p (r), m, C, r et de la constante des aires C =
− →
s O
m
.
Quel est son sens physique ? Quel est le sens physique de
1
2
m
dr
dt
2
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