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de la force de gravitation
− →
F (M) = m
− −− →
G(M) à une force d’inertie d’entraînement
− −− →
F ie (M).
Le champ de pesanteur doit donc tenir compte de
− −− →
F ie (M).
1. En supposant M contenu dans le plan Oyz, exprimer
−−→
g(M) en fonction de
− −− →
G(M), de
V, de r et de la latitude l de M . Évaluer le rapport des ordres de grandeur de F ie (M) par
rapport à F(M). Conclure.
2. En faisant alors un développement limité adéquat, exprimer l’écart relatif dû à la
rotation de la Terre sur la valeur de g, soit
Dg
g
≈
g(M) − G(M)
G(M)
en fonction de V, de
r, de la latitude l et de G(M). Comment varie cet écart relatif avec r et avec la latitude ?
Commenter.
3. Exprimer de même à l’ordre le plus bas, l’écart angulaire ´ entre la verticale (définie
par
−−→
g(M)) et
− − →
OM en fonction de V, r, l et G(M). Commenter.
Calculer numériquement
Dg
g
et ´ pour l = 45
◦ et r = 6 400 km. Commenter.
Exercice 8
Force d’inertie de Coriolis due à la rotation terrestre
Sud
Nord
y
z
x
C
O
On étudie la force d’inertie de Coriolis subie par
quelques objets en mouvement au voisinage de
la surface terrestre ; la troisième partie, consacrée à la déviation lors d’une chute libre, permet de rappeler la résolution d’un système de
trois équations différentielles linéaires du premier ordre couplées. Le repère {O, x, y, z} est
appelé repère tangent en O : il est lié à la Terre et
tourne donc avec elle. Oz est défini par la verticale du lieu (qui passe pratiquement par O) et le
plan Oxy lui est perpendiculaire (Oy est tangent
au méridien et Ox au parallèle du lieu O) ; CO
a la valeur du rayon de la Terre R = 6 400 km.
v désigne la vitesse angulaire de rotation de la
Terre sur elle-même.
1. Soit un point M, de masse m, en mouvement à la vitesse
− →
V par rapport au référentiel
terrestre ; on décrit son mouvement dans le repère tangent. Rappeler l’expression de la
force d’inertie de Coriolis
− −− →
f ic (M) qu’il subit.
2. Mouvement de divers véhicules à la surface terrestre : donner l’expression de
− −− →
f ic (M)
en fonction de m, V , V et l (dans l’hémisphère Nord). Indiquer sa direction et son sens,
puis calculer numériquement la valeur de cette force en un lieu de latitude 45
◦ :
a. Pour un wagon de masse m = 20 tonnes se déplaçant du Nord au Sud le long d’un
méridien à la vitesse de 300 km/h ;
1. MÉCANIQUE
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de la force de gravitation
− →
F (M) = m
− −− →
G(M) à une force d’inertie d’entraînement
− −− →
F ie (M).
Le champ de pesanteur doit donc tenir compte de
− −− →
F ie (M).
1. En supposant M contenu dans le plan Oyz, exprimer
−−→
g(M) en fonction de
− −− →
G(M), de
V, de r et de la latitude l de M . Évaluer le rapport des ordres de grandeur de F ie (M) par
rapport à F(M). Conclure.
2. En faisant alors un développement limité adéquat, exprimer l’écart relatif dû à la
rotation de la Terre sur la valeur de g, soit
Dg
g
≈
g(M) − G(M)
G(M)
en fonction de V, de
r, de la latitude l et de G(M). Comment varie cet écart relatif avec r et avec la latitude ?
Commenter.
3. Exprimer de même à l’ordre le plus bas, l’écart angulaire ´ entre la verticale (définie
par
−−→
g(M)) et
− − →
OM en fonction de V, r, l et G(M). Commenter.
Calculer numériquement
Dg
g
et ´ pour l = 45
◦ et r = 6 400 km. Commenter.
Exercice 8
Force d’inertie de Coriolis due à la rotation terrestre
Sud
Nord
y
z
x
C
O
On étudie la force d’inertie de Coriolis subie par
quelques objets en mouvement au voisinage de
la surface terrestre ; la troisième partie, consacrée à la déviation lors d’une chute libre, permet de rappeler la résolution d’un système de
trois équations différentielles linéaires du premier ordre couplées. Le repère {O, x, y, z} est
appelé repère tangent en O : il est lié à la Terre et
tourne donc avec elle. Oz est défini par la verticale du lieu (qui passe pratiquement par O) et le
plan Oxy lui est perpendiculaire (Oy est tangent
au méridien et Ox au parallèle du lieu O) ; CO
a la valeur du rayon de la Terre R = 6 400 km.
v désigne la vitesse angulaire de rotation de la
Terre sur elle-même.
1. Soit un point M, de masse m, en mouvement à la vitesse
− →
V par rapport au référentiel
terrestre ; on décrit son mouvement dans le repère tangent. Rappeler l’expression de la
force d’inertie de Coriolis
− −− →
f ic (M) qu’il subit.
2. Mouvement de divers véhicules à la surface terrestre : donner l’expression de
− −− →
f ic (M)
en fonction de m, V , V et l (dans l’hémisphère Nord). Indiquer sa direction et son sens,
puis calculer numériquement la valeur de cette force en un lieu de latitude 45
◦ :
a. Pour un wagon de masse m = 20 tonnes se déplaçant du Nord au Sud le long d’un
méridien à la vitesse de 300 km/h ;
1. MÉCANIQUE
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