solutions des exercices
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On observe que v g ≈ v f quand ka 1 (ou, de manière équivalente, l a). Le milieu est
alors peu dispersif. Ceci se voit aussi sur la relation de dispersion (v est approximativement
proportionnel à k quand ka 1). On observe également que v g = 0 en k = ±p/a (onde
stationnaire ; on peut montrer que, dans ces conditions, deux particules adjacentes vibrent
constamment en opposition de phase).
17 CONSEIL : Cet exercice est, essentiellement, le même que le précédent mais vu, cette fois, sous
l’angle de la rotation.
1. La tige d’ordre n est soumise au couple de torsion exercé par la portion de fil comprise
entre la tige n et la tige (n 1 1) mais aussi au couple de torsion exercé par la portion de fil
entre la tige n et la tige (n − 1). Ces deux couples ont, respectivement, pour moments :
G n11→n = C(u n11 − u n )
et
G n−1→n = C(u n−1 − u n ).
Appliquons le théorème du moment cinétique à la tige n :
J D ¨ u n = G n11→n 1 G n−1→n = C (u n11 1 u n−1 − 2u n )
soit
¨ u n = −V
2 ( 2 u n − u n−1 − u n11 )
(159)
avec V
2 =
C
J D
.
2.a. Posons c = v/|k|. Si k est positif, on a :
u n (t) = A cos (kna − vt) = cos
v(t − x n /c)
.
On est donc en présence d’une onde progressive se propageant dans le sens des x croissants
à la célérité c. Si k est négatif, on a, cette fois, u n (t) = A cos
v(t 1 x n /c)
. L’ onde se
propage maintenant dans le sens des x décroissants toujours à la célérité c.
2.b. On procède comme dans l’exercice précédent.
u n = A exp[j(kna − vt)] ; u n11 = exp(jka)u n ; u n−1 = exp(−jka)u n ; ¨ u n = −v
2 u n .
En reportant ces expressions dans (159), on obtient :
−v
2 = −V
2
2 − exp(−jka) − exp(jka)
soit v = 2V
sin
ka
2
2.c. 0 v 2V.
2.d.
v(k 1 2p/a) = 2V
sin
ka
2
1 p
= v(k)
On peut donc se restreindre à un intervalle de k d’amplitude 2p/a.
5. ONDES
455
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On observe que v g ≈ v f quand ka 1 (ou, de manière équivalente, l a). Le milieu est
alors peu dispersif. Ceci se voit aussi sur la relation de dispersion (v est approximativement
proportionnel à k quand ka 1). On observe également que v g = 0 en k = ±p/a (onde
stationnaire ; on peut montrer que, dans ces conditions, deux particules adjacentes vibrent
constamment en opposition de phase).
17 CONSEIL : Cet exercice est, essentiellement, le même que le précédent mais vu, cette fois, sous
l’angle de la rotation.
1. La tige d’ordre n est soumise au couple de torsion exercé par la portion de fil comprise
entre la tige n et la tige (n 1 1) mais aussi au couple de torsion exercé par la portion de fil
entre la tige n et la tige (n − 1). Ces deux couples ont, respectivement, pour moments :
G n11→n = C(u n11 − u n )
et
G n−1→n = C(u n−1 − u n ).
Appliquons le théorème du moment cinétique à la tige n :
J D ¨ u n = G n11→n 1 G n−1→n = C (u n11 1 u n−1 − 2u n )
soit
¨ u n = −V
2 ( 2 u n − u n−1 − u n11 )
(159)
avec V
2 =
C
J D
.
2.a. Posons c = v/|k|. Si k est positif, on a :
u n (t) = A cos (kna − vt) = cos
v(t − x n /c)
.
On est donc en présence d’une onde progressive se propageant dans le sens des x croissants
à la célérité c. Si k est négatif, on a, cette fois, u n (t) = A cos
v(t 1 x n /c)
. L’ onde se
propage maintenant dans le sens des x décroissants toujours à la célérité c.
2.b. On procède comme dans l’exercice précédent.
u n = A exp[j(kna − vt)] ; u n11 = exp(jka)u n ; u n−1 = exp(−jka)u n ; ¨ u n = −v
2 u n .
En reportant ces expressions dans (159), on obtient :
−v
2 = −V
2
2 − exp(−jka) − exp(jka)
soit v = 2V
sin
ka
2
2.c. 0 v 2V.
2.d.
v(k 1 2p/a) = 2V
sin
ka
2
1 p
= v(k)
On peut donc se restreindre à un intervalle de k d’amplitude 2p/a.
5. ONDES
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