i
i
i
i
i
i
i
i
ω
O
k
/a
– /a
2 Ω
2.e. −p/a k 1p/a.
3. Il faut supprimer l’onde réfléchie : la tige
à l’extrémité de l’ondoscope est libre de se
mouvoir et elle est reliée à un dispositif
qui crée des frottements visqueux. Si les
paramètres du dispositif sont correctement
déterminés, il n’y a pas d’onde réfléchie.
4.a. k étant positif, le premier terme correspond à une onde se propageant dans le
sens des x croissants et le second à une onde se propageant dans le sens des x décroissants.
Les deux ondes ont la même célérité c = v/k.
4.b. u 0 = 0 = A cos vt 1 B cos(vt 1 f) ∀ t.
– vt = 0 =⇒ A 1 B cos f = 0
– vt = p/2 =⇒ −B sin f = 0.
Si l’on rejette la solution triviale B = A = 0, on est conduit à choisir f = 0 ce qui
entraîne A = −B.
4.c On a alors :
u n (t) = A cos(kna − vt) − A cos(kna 1 vt) = 2A sin(kna) sin(vt) ≡ f (t)g(na)
avec f (t) = 2A sin(vt) et g(na) = sin(kna). On est en présence d’ondes stationnaires.
4.d u N = 0 = f (t)g(Na) ∀ t =⇒ sin(kNa) = 0 soit kNa = pp (p entier). On en
déduit
k = p
p
Na
, p = 0, 1, 2, . . . , N car 0 k
p
a
4.e. L’équation différentielle linéaire établie à la question 1 conduit à une relation de
dispersion valable pour des ondes progressives de pulsation v se propageant dans un sens
ou dans l’autre car v(k) = v(−k). Cette relation est donc encore valable pour des ondes
stationnaires qui sont la superposition des ondes précédentes.
k = p
p
Na
=⇒ v = 2V
sin
ka
2
= 2V
sin
pp
2N
, p = 0, 1, 2, . . . , N
4.f.
u n (t) = 2A sin vt sin
ppn
N
0 n N
p = 1 =⇒
u n (t) = 2A sin vt sin
pn
N
,
etc . . . ,
p = N =⇒
u n (t) = 2A sin vt sin (pn) = 0 ∀t et ∀n
À un instant d’élongation maximale pour la tige n
o 1, on aura sin vt = 1 et donc :
p = 1 : u n = 2A sin
pn
N
p = 2 : u n = 2A sin
2pn
N
p = 3 : u n = 2A sin
3pn
N
p = N : u n = 0
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2 Ω
2.e. −p/a k 1p/a.
3. Il faut supprimer l’onde réfléchie : la tige
à l’extrémité de l’ondoscope est libre de se
mouvoir et elle est reliée à un dispositif
qui crée des frottements visqueux. Si les
paramètres du dispositif sont correctement
déterminés, il n’y a pas d’onde réfléchie.
4.a. k étant positif, le premier terme correspond à une onde se propageant dans le
sens des x croissants et le second à une onde se propageant dans le sens des x décroissants.
Les deux ondes ont la même célérité c = v/k.
4.b. u 0 = 0 = A cos vt 1 B cos(vt 1 f) ∀ t.
– vt = 0 =⇒ A 1 B cos f = 0
– vt = p/2 =⇒ −B sin f = 0.
Si l’on rejette la solution triviale B = A = 0, on est conduit à choisir f = 0 ce qui
entraîne A = −B.
4.c On a alors :
u n (t) = A cos(kna − vt) − A cos(kna 1 vt) = 2A sin(kna) sin(vt) ≡ f (t)g(na)
avec f (t) = 2A sin(vt) et g(na) = sin(kna). On est en présence d’ondes stationnaires.
4.d u N = 0 = f (t)g(Na) ∀ t =⇒ sin(kNa) = 0 soit kNa = pp (p entier). On en
déduit
k = p
p
Na
, p = 0, 1, 2, . . . , N car 0 k
p
a
4.e. L’équation différentielle linéaire établie à la question 1 conduit à une relation de
dispersion valable pour des ondes progressives de pulsation v se propageant dans un sens
ou dans l’autre car v(k) = v(−k). Cette relation est donc encore valable pour des ondes
stationnaires qui sont la superposition des ondes précédentes.
k = p
p
Na
=⇒ v = 2V
sin
ka
2
= 2V
sin
pp
2N
, p = 0, 1, 2, . . . , N
4.f.
u n (t) = 2A sin vt sin
ppn
N
0 n N
p = 1 =⇒
u n (t) = 2A sin vt sin
pn
N
,
etc . . . ,
p = N =⇒
u n (t) = 2A sin vt sin (pn) = 0 ∀t et ∀n
À un instant d’élongation maximale pour la tige n
o 1, on aura sin vt = 1 et donc :
p = 1 : u n = 2A sin
pn
N
p = 2 : u n = 2A sin
2pn
N
p = 3 : u n = 2A sin
3pn
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p = N : u n = 0
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