i
i
i
i
i
i
i
i
1.
− →
F n11→n = a
− − →
u n11 − − → u n
2. La particule n est soumise aux deux forces
− →
F n11→n et
− →
F n−1→n . On a donc :
− →
F n11→n 1
− →
F n−1→n = m¨ u n
− → u x
d’où
a (u n11 − u n ) 1 a (u n−1 − u n ) = m¨ u n =⇒ a (u n11 1 u n−1 − 2u n ) = m¨ u n (155)
3.
u n = u.e
i(vt−kna)
=⇒ u n11 = e
−ika u n ; u n−1 = e
1ika u n ; ¨ u n = −v
2 u n
En reportant ces expressions dans (155), on obtient :
a
e
−ika 1 e
1ika
− 2
= −mv
2
=⇒ a (2 cos ka − 2) = −mv
2
=⇒ 4a sin
2 ka
2
= mv
2
=⇒ v(k) = 2
a
m
sin
ka
2
w (k)
O
k
/a
– /a
–
m
2
La relation entre k est v est appelée relation
de dispersion.
On observe que v(k 1 2p/a) = v(k). On
peut donc se limiter à un intervalle d’amplitude 2p/a pour l’étude de v(k), soit, par
exemple, −p/a < k 1p/a.
4. La vitesse de phase s’écrit :
v f =
v
k
= 2
a
m
sin
ka
2
1
k
v f (−k) = −v f (k)
–
m
a
–
m
– a
/a
– /a
v g
v g
v
v
k
O
La vitesse de groupe s’écrit :
v g =
dv
dk
d’où : pour 0 < k
p
a
,
v = 2
a
m
sin
ka
2
, v g = a
a
m
cos
ka
2
pour −
p
a
k < 0,
v = −2
a
m
sin
ka
2
, v g = −a
a
m
cos
ka
2
(v g (−k) = −v g (k))
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